1、已知动点满足x2+y2-=0,为坐标原点,则的取值范围是_______
解:方程x2+y2-=0可化为:
=
所以动点的轨迹如图:为原点和四段圆弧
故的取值范围是{0}
2、若对一切R,向量=(a+cos,2a-sin)的长度不超过2,则实数的取值范围为.
解:依题意,得<2
()(对任意实数成立)
. 故 的取值范围为 。
3、设x,y均为正实数,且,则xy的最小值为( )
A.4 B.16 C.8 D.24
解:由可化为xy =8+x+y
x,y均为正实数
xy =8+x+y(当且仅当x=y等号成立)
即xy-2-8
可解得
即xy16故xy的最小值为16。故选B。
4、设,,
则满足条件的所有实数a的取值范围为( )
A.0<a<4 B.a=0 C.<4 D.0<a
解: 的根为x=0或x=-a
可化为或+a=0
由题意可得+a=0无解或+a=0的根为x=0或x=-a
+a=0 即x2+ax+a=0
=a2-4a<0或a=0
<4。故选C。
5、抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=.
(1)求抛物线的方程;
(2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?若存在,求出C点的坐标:若不存在,请说明理由。
解:(1)设所求抛物线方程为,
则由消支y得 x2-2(1+p)x+1=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2)
则x1+ x2=2(1+p) x1x2=1
由弦长|AB|=建立关于p的方程.
解得 p=或p=-(舍去)
故抛物线方程为.
(2)设AB的中点为D则D(,-),x轴上存在满足条件的点C(x0,0),
由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB,|CD|=|AB|=.
由CD⊥AB得x0= 但|CD|=|AB|=
故x轴上不存在点C,使△ABC为正三角形。
6、已知函数的图像经过点和点,且数列满足,记数列的前项和为().
(1)求数列的通项公式;
(2)设,且数列为递增数列,即对,恒有成立,试求的取值范围;
解:(1)由条件,得
于是,,
则,.
又因为,所以数列的通项公式为,.
(2)因为,所以
即.
于是,,因为,所以,
因,则
所以.