在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。

分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：

1. 集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。

A.　 0≤a≤1　　 B.　 a≤1　　　 C.　 a<1　　　　 D.　 0<a<1

2. 若a>0且a≠1，p＝log(a+a+1)，q＝log(a+a+1)，则p、q的大小关系是_____。

A. p＝q　　 B. p<q　　 C. p>q　　 D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q

3. 函数y＝+++的值域是_________。

4. 若θ∈(0, )，则的值为_____。

A. 1或－1　　　　 B. 0或－1　　 C. 0或1　　 D. 0或1或－1

5. 函数y＝x+的值域是_____。

A.　 [2,+∞)　　　 B. (-∞,-2]∪[2,+∞)　　 C. (-∞,+∞)　　 D. [-2,2]

6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。

A.　 　　　B.　 　　　　C. 　　　　D. 或

7. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

A. 3x－2y＝0　　 B. x+y－5＝0　　 C. 3x－2y＝0或x+y－5＝0　　 D.不能确定

Ⅱ、示范性题组：

例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1+x)|的大小。

[分析] 对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。

[解] ∵ 0<x<1　　 ∴　 0<1－x<1 ,　　 1+x>1

①　 当0<a<1时，|log(1－x)|－|log(1+x)|＝log(1－x)－[－log(1+x)]＝log(1－x)>0;

②　 当a>1时，|log(1－x)|－|log(1+x)|＝…

由①、②可知，…

例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：　 ①. CA∪B且C中含有3个元素；　 ②. C∩A≠φ　 。

[分析] 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

[解]　 C.C+C.C+C.C＝1084

[另解](排除法)：

[注]本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。

例3. 设{a}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。　 ①. 证明：　 <lgS；　　　 ②.是否存在常数c>0，使得＝lg(S－c)成立？并证明结论。(95年全国理)

[分析] 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。

[解] 设公比q，则a>0，q>0

①． …

②. 要使＝lg(S－c)成立，则必有(S－c)(S－c)＝(S－c),

分两种情况讨论如下：

当q＝1时，S＝na，则

(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n+2)a－c]－[(n+1)a－c]＝－a<0

当q≠1时，S＝，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]

∵　 aq≠0　　 ∴　 a－c(1－q)＝0即c＝

而S－c＝S－＝－<0　　　 ∴对数式无意义

由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg(S－c)成立。

[注] 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明>logS　。

例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。(概念、性质型)

例4. 设函数f(x)＝ax－2x+2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。

1　　 4　　 x 　　　 1　　 4　　 x

[分析] 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。(也属数形结合法)

[解]当a>0时，f(x)＝a(x－)+2－

∴ 或或

∴ a≥1或<a<1或φ　　　　 即 a>；

当a<0时，，解得φ；

当a＝0时，f(x)＝－2x+2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意

由上而得，实数a的取值范围是a>　。

例5. 解不等式>0　 (a为常数，a≠－)

[分析] 含参不等式，参数a决定了2a+1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。

[解] 2a+1>0时，a〉－；　　 －4a<6a时，a>0 。　 所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，(x+4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

当a＝0时，x>0，解得：x≠0；

当－<a<0时，(x+4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；

当a>－时，(x+4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

综上所述，……

[注] 含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。(含参型)

例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z+2|z|＝a 。　 (90年全国高考)

[解] ∵ z∈R，由z+2|z|＝a得：z∈R；　 ∴ z为实数或纯虚数

当z∈R时，|z|+2|z|＝a,解得：|z|＝－1+　　 ∴ z＝±(－1+)；

当z为纯虚数时，设z＝±yi　 (y>0)，　 ∴ －y+2y＝a　 解得：y＝1±　 (0≤a≤1)

由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i

[注]本题用标准解法(设z＝x+yi再代入原式得到一个方程组，再解方程组)过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。　 (简化型)

[另解] 设z＝x+yi，代入得 x－y+2+2xyi＝a； ∴

当y＝0时，…

例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。　　 (本题难度0.40)

[分析] 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。

[解] 设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则

|MA|＝(x－a)+y＝(x－a)+2x＝x－2(a－1)x+a＝[x－(a－1)]+(2a－1)

由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：

当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；

当a－1<0时，x＝0取最小值，即|MA}＝a；

综上所述，有f(a)＝　 　。

Ⅲ、巩固性题组：

1.　 若log<1，则a的取值范围是_____。

A. (0, )　　 B. (,1)　　 C. (0, )∪(1,+∞)　　 D. (,+∞)

2.　 非零实数a、b、c，则+++的值组成的集合是_____。

A. {-4,4}　　 B. {0,4}　　 C. {-4,0}　　　 D. {-4,0,4}

3.　 f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常数，下列结论正确的是_____。

A.当x＝2a时有最小值0　　　　　 B.当x＝3a时有最大值0

C.无最大值，且无最小值　　　　 D.有最小值但无最大值

4. 设f(x,y)＝0是椭圆方程，f(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)+λf(x,y)＝0　 (λ∈R)表示的曲线是_____。

　 A.只能是椭圆　　 B.椭圆或直线　　 C.椭圆或一点　　 D.还有上述外的其它情况

5. 函数f(x)＝ax－2ax+2+b　 (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。

　 A.　 a＝1,b＝0　　　　　 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

　 C.　 a＝－1，b＝3　　　 　D. 以上答案均不正确

6.方程(x－x－1)＝1的整数解的个数是_____。

　 A.　 1　　 B.　 3　　 C.　 4　　　 D.　 5

7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。

　 A.　 7　　 B.　 6　　 C.　 5　　　 D.　 4

8. 　z∈C，方程z－3|z|+2＝0的解的个数是_____。

A.　 2　　　 B.　 3　　 C.　 4　　　 D.　 5

9. 复数z＝a+ai　 (a≠0)的辐角主值是______________。

10.解关于x的不等式：　 2log(2x－1)>log(x－a)　　 (a>0且a≠1)

11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S，又设T＝，求T　。

12. 若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且|z|＝2，求z 。

13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。

14. 函数f(x)＝(|m|－1)x－2(m+1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。