Question

10．如图甲所示，在两块间距为L、板长均为$\sqrt{3}$L的固定水平金属板之间，存在方向垂直纸面向外的匀强磁场；两板的右侧存在范围足够大、方向垂直纸面向内的匀强磁场．当两板不带电时，让质量为m、电荷量为q的带正电粒子流从两板左端连线的中点O以初速度v₀水平向右射入板间，结果粒子恰好打到下板的中点．现将下板接地，上板的电势φ随时间t的变化规律如图乙所示，其中U=$\frac{2mv_0^2}{3q}$，t=0时刻从O点射入的经时间t₀恰好从下板右边绝缘射出．粒子打到板上均被板吸收，粒子所受的重力及粒子间的相互作用均不计．
（1）求两板间磁场的磁感应强度大小B；
（2）若两磁场的磁感应强度大小相等，且粒子P恰能回到O点，求右侧磁场沿初速度方向的宽度d应满足的条件和T的最小值T_min．

Answer 1

分析 （1）当两板间不加电压时，带电粒子在两板间的磁场中做匀速圆周运动，由于粒子打在板的中点，由几何关系求出粒子做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力就能求出求出磁感应强度大小．
（2）由题设条件，带电粒子在两板间的运动情况较复杂，可以根据动能定理求出从下板右边缘进入右边磁场的速度，由于粒子又回到P点，根据带电粒子运动的对称性，画出轨迹，当圆轨迹恰与右边缘相切时，由几何关系求出半径，再由洛仑兹力提供向心力就能宽度就满足的条件，再根据等时性求出周期的最小值．

解答 解：（1）当两板不带电时，设粒子在两板间做匀速圆周运动的半径为R₁，由洛仑兹力提供向心力有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
根据几何关系有：${{R}_{1}}^{2}=（{R}_{1}-\frac{L}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}L}{2}）^{2}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$ 
（2）根据题意，可画出粒子P的运动轨迹如图所示，对粒子P从O点运动到下板右边缘的过程，由动能定理有：
$-q\frac{U}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
设粒子P在两板的右侧匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R₂，有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：R₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$
由几何关系可知：$\frac{L}{2}={R}_{2}sinα$
右侧磁场沿初速度方向的宽度应满足的条件为：d≥R₂cosα+R₂
解得：d≥$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
由于粒子P从O点运动到下板右边缘与其从上板右边缘运动到O点两过程的运动轨迹关于两板间的中心线下下对称，
可知这两个运动过程经历的时间相等，有T_min^_2t₀=$\frac{（2π-2α）{R}_{2}}{v}$
解得：T_min=2t₀+$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$
答：（1）两板间磁场的磁感应强度大小B为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．
（2）若两磁场的磁感应强度大小相等，且粒子P恰能回到O点，则右侧磁场沿初速度方向的宽度d应满足的条件是d≥$\frac{\sqrt{3}}{2}L$，T的最小值T_min为2t₀+$\frac{4πL}{3{v}_{0}}$．

点评 本题要注意的是第二问，两板间的磁场与板右边的磁场的磁感应强度大小相等，虽然带电粒子在两板间的运动情况比较复杂，但带电粒子恰好从下板右边缘穿出，根据运动的对称性，在右边磁场做匀速圆周运动后又从上板右边缘返回P点．