Question

16．如图所示，在半径为R，圆心在（0，0）的圆形磁场区域内，加有方向垂直纸面向外、磁感强度为B的匀强磁场．一个质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以某一速度从O点沿y轴的正方向进入磁场，从图中的A点射出．出射的方向与圆在A点的切线方向夹角为60°． 如果再在x＞R的BC区域加一宽度为2R的方向竖直向下的匀强电场，让在A点射出的带电粒子经电场后，能恰好击中x轴上的点C（坐标为（0，3R））求：
（1）带电粒子的初速度大小
（2）所加电场E的大小．

Answer 1

分析 （1）由于题目中，给出了粒子从图中的A点射出．出射的方向与圆在A点的切线方向夹角为60°的特殊的条件，我们要先根据题意画出运动的轨迹，然后由角度关系，判断出A点的位置或轨迹的圆心的位置，然后得出轨迹的半径，最后由半径公式即可求出粒子的初速度；
（2）带电粒子处磁场后，进入电场前先做一段匀速直线运动，由匀速直线运动的规律求出粒子进入电场的位置，然后即可粒子在电场中做斜上抛运动，将运动分解即可求出电场强度．

解答 解：（1）由于粒子在O点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在X轴上，粒子从图中的A点射出．出射的方向与圆在A点的切线方向夹角为60°，如图做出粒子运动的轨迹．

设轨迹的圆心在O′点，则由题意：∠NAQ=60°
由于切线：PAQ⊥OA，所以：∠1=30°
同理，由于 MAN⊥AO′，所以∠2=90°-60°=30°
则：∠OAO′=∠OAQ-∠2=90°-30°=60°
在三角形△OAO′中，OO′=O′A=r，：∠OAO′=60°，所以△OAO′是等边三角形，OO′=O′A=OA=R，点B与点O′应该是重合在一起的，同时：r=R．
设入射粒子的速度为v₀，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
解得：${v}_{0}=\frac{qBR}{m}$
（2）带电粒子进入电场时的坐标（x₁，y₁）
x₁=R
${y}_{1}=Rsin60°+rcos60°•tan30°=\frac{2\sqrt{3}R}{3}$
进入电场作类平抛运动：
v_x=v₀cos30°
v_y=v₀sin30°
击中C点的时间：$t=\frac{2R}{{v}_{x}}=\frac{4\sqrt{3}R}{3{v}_{0}}$
Y方向：$-{y}_{1}={v}_{y}t-\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
解得：$E=\frac{\sqrt{3}q{B}^{2}R}{2m}$
答：（1）带电粒子的初速度大小是$\frac{qBR}{m}$；
（2）所加电场E的大小$\frac{\sqrt{3}q{B}^{2}R}{2m}$．

点评 本题关键是描绘出带电粒子的运动轨迹，然后根据磁场中洛伦兹力提供向心力和电场中的匀加速和匀减速运动，列式求解出时间．