题目内容
【题目】设想人类在某一 X 行星发射了两颗质量均为 m 的“人造 X 星卫星”，行星可以看做质量 M、半径 R 的均匀球体，甲乙两颗卫星的轨道半径分别为 2R 和 3R，在同一平面内，运行方向相同，不计两卫星之 间的万有引力，万有引力常量为 G。
(1)试求甲乙两卫星各自的周期；
(2)若某时刻两卫星与行星中心正好在一条直线上，最短经过多长时间，三者正好又在一条直线上?
(3)如果将两颗卫星用轻而结实的绳连接并且给以合适的速度，它们将可以一起绕行星运动且与行星中心始 终在一条直线上，求此情况下两颗卫星的运动周期。
【答案】（1）
；
（2）
（3）
【解析】
（1）卫星做圆周运动的向心力等于X星的万有引力，则对甲：
解得；
对乙：
解得；
（2）当三者正好又在一条直线上时需要的最短时间满足：
，
解得
（3）设绳的拉力为F，则对甲：
；
对卫星乙：
联立解得.
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