题目内容
如图甲所示，在空心三棱柱CDF以外足够大的空间中，充满着磁感应强度为B的匀强磁场．三棱柱的轴线与磁场平行，截面边长为L，三棱柱用绝缘薄板材料制成，其内部有平行于CD侧面的金属板P、Q，两金属板间的距离为d，P板带正电，Q板带负电，Q板中心有一小孔，P板上与小孔正对的位置有一个粒子源S，从S处可以发出初速度为0、带电量为+q、质量为m的粒子，这些粒子与三棱柱侧面碰撞时无能量损失．试求：（1）为使从S点发出的粒子最终又回到S点，P、Q之间的电压U应满足什么条件？（Q与CD之间距离不计）
（2）粒子从S点出发又回到S点的最短时间是多少？
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图乙所示，圆柱的轴线与三棱柱的轴线重合，且a=（
| ||
| 3 |
| 1 |
| 10 |
分析：（1）根据动能定理，列出粒子的速度与电压的关系；根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径，结合等边三角形边长，画出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求得加速电场的电压；
（2）求出带电粒子在匀强磁场中运动的周期，根据几何关系知，从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点经历的周期的个数，从而得出运动的时间；
（3）若a=（
+
）L，设D点到磁场边界的最近距离为L1，由已知条件得求出粒子运动的半径满足的条件，然后结合（1）的结论求出电压满足的条件．
（2）求出带电粒子在匀强磁场中运动的周期，根据几何关系知，从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点经历的周期的个数，从而得出运动的时间；
（3）若a=（
| ||
| 3 |
| 1 |
| 10 |
解答：解：（1）设粒子到达Q板小孔时的速度为υ，由动能定理得：
qU=
mv2 ①
从小孔发出的粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，根据牛顿第二定律
qvB=m
②
粒子能回到小孔的条件是：L=2R（2n-1）（n=1，2，3，…） ③
由①②③解得：U=
（n=1，2，3，…） ④
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为：T=
⑤
当④式中n=1时，粒子从S出发又回到S时间最短，粒子在磁场中分别以D、F、C为圆心做圆周运动，半径为：R=
⑥
设粒子从S到小孔所用时间为t1，则：
t1=d ⑦
粒子在磁场中运动的时间为：t2=3×
T ⑧
粒子从S点出发又回到S点的最短时间为：t=2t1+t2 ⑨
由以上各式解得：t=
(
+5π) ⑩
（3）设D点到磁场边界的最近距离为L1，由已知条件得：
L1=a-
=
⑨
从S发出的粒子要回到S，就必须在磁场区域内运动，即满足条件：
R≤L1=
⑩
由③④⑨⑩式解得：U≤
答：（1）为使从S点发出的粒子最终又回到S点，P、Q之间的电压U应满足：U=
（n=1，2，3，…）；
（2）粒子从S点出发又回到S点的最短时间是t=
(
+5π)；
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图乙所示，圆柱的轴线与三棱柱的轴线重合，且a=（
+
）L，要使S点发出的粒子最终又回到S点，则P、Q之间的电压不能超过：U≤
．
qU=
| 1 |
| 2 |
从小孔发出的粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，根据牛顿第二定律
qvB=m
| v2 |
| R |
粒子能回到小孔的条件是：L=2R（2n-1）（n=1，2，3，…） ③
由①②③解得：U=
| qB2L2 |
| 8m(2n-1)2 |
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为：T=
| 2πm |
| qB |
当④式中n=1时，粒子从S出发又回到S时间最短，粒子在磁场中分别以D、F、C为圆心做圆周运动，半径为：R=
| mv |
| qB |
设粒子从S到小孔所用时间为t1，则：
| v |
| 2 |
粒子在磁场中运动的时间为：t2=3×
| 5 |
| 6 |
粒子从S点出发又回到S点的最短时间为：t=2t1+t2 ⑨
由以上各式解得：t=
| m |
| qB |
| 8d |
| L |
（3）设D点到磁场边界的最近距离为L1，由已知条件得：
L1=a-
| L |
| 2cos30° |
| L |
| 10 |
从S发出的粒子要回到S，就必须在磁场区域内运动，即满足条件：
R≤L1=
| L |
| 10 |
由③④⑨⑩式解得：U≤
| qB2L2 |
| 200m |
答：（1）为使从S点发出的粒子最终又回到S点，P、Q之间的电压U应满足：U=
| qB2L2 |
| 8m(2n-1)2 |
（2）粒子从S点出发又回到S点的最短时间是t=
| m |
| qB |
| 8d |
| L |
（3）若磁场是半径为a的圆柱形区域，如图乙所示，圆柱的轴线与三棱柱的轴线重合，且a=（
| ||
| 3 |
| 1 |
| 10 |
| qB2L2 |
| 200m |
点评：本题粒子在有圆形边界的磁场做匀速圆周运动的问题，画出轨迹，根据几何知识分析临界条件，求半径和圆心角是常用的思路．
练习册系列答案
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