Question

【题目】一个废弃的空矿井，井口和井底都是水平的．井口和井底以及任意水平横截面都是边长为a的正方形，四个侧面墙壁都与水平面垂直．矿井的深度为H，如图所示．在井口的一边的中点A，以垂直于该侧面墙壁的速度v水平抛出一个质量为m的小球，小球进入矿井运动，空气阻力忽略不计．在第（1）个问和第（3）个问中，g=9.8m/s，在第（2）个问中，重力加速度用g表示，且都保持不变．

（1）若H=4.9m，a=6m，小球不会与侧面墙壁相碰就落到了井底，求小球在空中运动的时间、速度v的取值范围．

（2）若H、a、v都是已知条件但具体数值未知，用所给的字母表示出小球做平抛运动的时间．

（3）若小球与侧面墙壁的碰撞是一种非常理想的碰撞，每次碰撞都满足：设撞击墙壁前瞬间的速度为v1，如图所示，类似于光的反射一样，反弹的速度大小v2=v1，并且角度满足图示的情形，且碰撞时间极短．H=78.4m、a=5m、v=7m/s，求小球在落到井底之前能与侧面墙壁碰撞的次数．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）5次

【解析】

（1）小球做平抛运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动，由运动学公式求解运动时间．（2）分小球未碰到侧面墙壁和碰到侧面墙壁进行讨论，由运动学公式求解．（3）由公式求出小球一直下落到井底的总时间，小球一直在水平方向做匀速直线运动，s=vt，由求解碰撞次数．

（1）由，得：

由，得：

故速度v的取值范围为0m/s＜v＜6m/s．

（2）若，

若，

若，

（3）若小球一直下落到井底：

解得：

如果小球一直在水平方向做匀速直线运动，则

故，说明可以与墙壁撞击5次．