Question

在足够大的真空空间中，存在着水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m的带正电的小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角θ=37°．现将该小球从电场的某点竖直向上抛出，抛出的初速度大小为υ₀，如图所示．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小球受到的电场力的大小及方向
（2）小球从抛出点至最高点的电势能变化量
（3）小球在电场中运动过程中的最小速率．

Answer 1

分析：（1）静止时受重力，电场力，绳的拉力三力平衡，由数学关系可得电场力．
（2）小球从抛出点至最高点的过程中，由竖直方向的匀减速运动可得运动时间，在由水平方向做匀加速直线运动可得小球沿电场线方向的位移，进而可得电场力做的功，电场力做功电势能变化，可确定电势能变化量．
（3）撤去细线，现将该小球从电场中的A点竖直向上抛出，带电小球在水平方向的匀强电场中竖直向上抛出，小球在竖直方向受到重力，在水平方向受到电场力，从而做曲线运动，因此可将曲线分解成竖直方向与水平方向的两个运动．利用运动学公式可求出小球速率最小值；

解答：解：
（1）静止时受重力，电场力，绳的拉力三力平衡，可得电场力等于：
 F=mgtan37°=

3

4

mg
电场力的方向水平向右．
（2）小球沿竖直方向做匀减速运动，速度为v_y，可得：
v_y=v₀-gt
解得小球上升到最高点的时间：
t=

v0

g

沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为a_x，由牛顿第二定律得：
a_x=

F

m

=

3

4

mg
此过程小球沿电场方向位移为：
s_x=

1

2

a_xt²=

3v0

8g

电场力做功：
W=Fs_x=

9

32

mv02
电场力做正功电势能减少，故小球上升到最高点的过程中，电势能减少

9

32

mv02
（3）水平速度：
v_x=a_xt
竖直速度：
v_y=v₀-gt  
小球的速度：；
v=

vx2+vy2

由以上各式得出：

25

16

g²t²-2v₀gt+（v02-v²）=0
解得当t=

16v0

25g

时，v有最小值：
v_min=

3

5

v₀
或者：
小球在电场中静止时有，重力与电场力的合力与细线的拉力是一对平衡力，力的合成如图所示．当小球以速度υ₀竖直上抛时，将其速度分解到合力力的方向及与合外力垂直的方向，由图可知，当合外力使υ_F减速为零时，小球具有最小的速度为υ_min=υ₀sinθ=

3

5

v0．
答：
（1）小球受到的电场力的大小为

3

4

mg，方向水平向右．
（2）小球从抛出点至最高点的电势能减少

9

32

mv02．
（3）小球在电场中运动过程中的最小速率为

3

5

v0．

点评：考查了运动的合成与分解研究的方法，并让学生掌握运动学公式、牛顿第二定律、动能定理等规律．同时让学生形成如何处理曲线的方法．如果将速度按照合力方向和垂直合力方向分解，当沿合力方向的速度减为零时其速度达到最小值，也可以解出最小速度．运用速度矢量合成的三角形法则也可求解．