Question

【题目】如图（1）所示，一根轻弹簧上端固定，下端悬挂一个质量为m的A，弹簧的劲度系数为k，用手竖直向上托起砝码A，使砝码A静止于某一初始位置，此时弹簧处于压缩状态，如图23（2）所示．现改变手对砝码A的作用力，使A以某一加速度做竖直向下的匀加速直线运动．已知砝码A向下做匀加速直线运动时，加速度的数值恰好等于在初始位置时突然撤去手的瞬时砝码A加速度数值的一半．设在砝码A的运动过程中，弹簧始终未超过其弹性限度．若手对砝码A的作用力未改变方向前，砝码A向下做匀加速直线运动的最大距离是S．则：

（1）砝码A做匀加速直线运动的加速度a=；
（2）通过距离S所用的时间t ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）
【解析】解：设突然撤去手的瞬时，砝码A向下运动的加速度为a．（1）设初始时刻弹簧的压缩量为x，研究非砝码A，由牛顿第二定律有：

kx+mg=ma

得：x=

由已知条件知，砝码A向下做匀加速直线运动的加速度 a′= ，在手对砝码A作用力的方向即将改变的瞬时，手对砝码的作用力为零．

若a′≥g，则手对砝码A的作用力为零时，弹簧长度未超过原长，设此时弹簧压缩量为x′，有：

kx′+mg=ma′

可得：x′=

砝码A向下运动的距离为：

S=x﹣x′= =

砝码A向下做匀加速直线运动的加速度为：

a′=

根据S= ，得砝码A向下做匀加速直线运动时间为：

t= =

若 ＜a′＜g，则手对砝码A的作用力为零时，弹簧长度已超过原长，设此时弹簧伸长量为x″，有：

mg﹣kx″=ma′

得：x″=

有：S=x+x″= =

因此，此时砝码A向下做匀加速直线运动的加速度为：

a′=

时间仍为：t= =

故答案为：（1） ；（2） ．

突然撤去手的瞬时，根据牛顿第二定律列式．设突然撤去手的瞬时，砝码A向下运动的加速度为a，砝码A向下做匀加速直线运动的加速度 a′= ，在手对砝码A作用力的方向即将改变的瞬时，手对砝码的作用力为零．分两种情况讨论：（1）若a′≥g，则手对砝码A的作用力为零时，弹簧长度未超过原长，根据牛顿第二定律求出手对砝码A的作用力为零时弹簧的压缩量，得到砝码A向下运动的距离，求出A的加速度，再由位移公式求时间．（2）若 ＜a′＜g，则手对砝码A的作用力为零时，弹簧长度已超过原长，用同样的方法求解．