Question

10．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于最低点A，一个质量为m可视为质点的小球，从A点沿切线向左以某一初速度进入半圆轨道，恰好能通过半圆轨道的最高点M，然后，落在四分之一圆轨道上的N点，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球运动到M点时的加速度为g
• B． M点与N点间的高度差为$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$
• C． 小球的初速度大小为$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
• D． 小球到达N点时的动能为$\frac{（2\sqrt{5}+1）}{4}$mgR

Answer 1

分析 小球刚好通过M点，在M点重力提供向心力，求出M点速度，小球从M点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式结合几何关系可求得M点与N点间的高度差．由动能定理求小球的初速度和小球到达N点时的动能．

解答 解：A、小球刚好通过M点，在M点只受重力，加速度为g，故A正确．
B、在M点由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得：v=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．从A点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移为 x=vt，竖直方向的位移为 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
根据几何关系有：x²+h²=R²，解得：M点与N点间的高度差为 h=$\frac{（\sqrt{5}-1）R}{2}$．故B正确．
C、从A到M点的过程，由动能定理得：-mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得v₀=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，故C错误．
D、小球从M到N的过程，由动能定理得：mgh=E_KN-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，小球到达N点时的动能为 E_KN=$\frac{2\sqrt{5}-1}{4}$mgR．故D错误．
故选：AB

点评 本题的关键要理清小球的运动过程，明确M点的临界条件：重力等于向心力．要熟练运用分运动的规律和几何知识求平抛运动的时间和高度．