Question

如下图所示，一质量M=2 kg的长木板B静止于光滑水平面上，B的右边放有竖直挡板.现有一小物体A(可视为质点)质量m=1 kg，以速度v₀=6 m/s从B的左端水平滑上B，已知A和B间的动摩擦因数μ=0.2，B与竖直挡板的碰撞时间极短，且碰撞时无机械能损失.

(1)若B的右端距挡板s=4 m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少多长？

(2)若B的右端距挡板s=0.5 m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少多长？

Answer 1

解：(1)设A滑上B后达到共同速度前并未碰到挡板，则根据动量守恒定律得它们的共同速度为v，有

mv₀=(M+m)v,解得v=2 m/s,

在这一过程中，B的位移为S_b由动能定理：μmgs_b=Mv²解得s_b=2 m.

当s=4 m时，A、B达到共同速度v=2 m/s后再匀速向前运动2 m碰到挡板，B碰到竖直挡板后，根据动量守恒定律得A、B最后相对静止时的速度为v′,则Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′= m/s.

在这一过程中，A、B的相对位移为s₁,根据动能定理，得

μmgs₁=mv₀²- (M+m)v′²,

解得s₁=8.67 m.

因此，A、B最终不脱离的木板最小长度为8.67 m

(2)因B离竖直挡板的距离s=0.5 m＜2 m,所以碰到挡板时，A、B未达到相对静止，此时B的速度为v_b由动能定理

μmgs=Mv_b²解得v_b=1 m/s,

设此时A的速度为v_a,根据动量守恒定律，得

mv₀=Mv_B+mv_A,解得v_a=4 m/s,

B碰撞挡板后，以原速率反弹，A、B最终达到向右的相同速度v,

根据动量守恒定律得：mv_A-Mv_B=(M+m)v,解得v=m/s.

B再次碰到挡板后，以原速率反弹，A、B最终以相同的速度v′向左共同运动，根据动量守恒定律，得

Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′=m/s.

在这一过程中，A、B发生的相对位移s_b为：

μmgs_b=mv₀²- (M+m)v′²,解得s_b=8.96 m

因此，为使A不从B上脱落，B的最小长度为8.96 m.