Question

【题目】导线中自由电子的定向移动形成电流，电流可以从宏观和微观两个角度来认识。

（1）一段通电直导线的横截面积为S，它的摩尔质量为M，密度为ρ，阿伏伽德罗常数位NA。导线中每个带电粒子定向运动的速率为υ，粒子的电荷量为e，假设每个电子只提供一个自由电子。

①推导该导线中电流的表达式；

②如图所示，电荷定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，在宏观上表现为导线所受的安培力。按照这个思路，请你尝试由安培力的表达式推导出洛伦兹力的表达式。

（2）经典物理学认为金属导体中恒定电场形成稳恒电流。金属导体中的自由电子在电场力的作用下，定向运动形成电流。自由电子在定向运动的过程中，不断地与金属离子发生碰撞。碰撞后自由电子定向运动的速度变为零，将能量转移给金属离子，使得金属离子的热运动更加剧烈，这就是焦耳热产生原因。

某金属直导线电阻为R，通过的电流为I。请从宏观和微观相结合的角度，证明：在时间t内导线中产生的焦耳热为Q=I2Rt（可设电子与离子两次碰撞的时间间隔t0,碰撞时间忽略不计，其余需要的物理量可自设）。

Answer 1

【答案】（1）①②见解析（2）见解析

【解析】

(1）①金属导线单位体积内电子个数

在时间t内流过导线横截面的带电粒子数

N=

通过导线横截面的总电荷量

Q=Ne

导线中电流

I=

联立以上三式可以推导出

I=

②导线受安培力大小

F安=BIL。

长L的导线内总的带电粒子数

N=nSL

又

I=

电荷定向运动时所受洛伦兹力的矢量和，表现为导线所受的安培力，即

Nf=F安

联立以上三式可以推导出洛伦兹力的表达式

f=evB

（2）方法1：

设金属导体长为L，横截面积为S，两端电压为U，导线中的电场强度

E=

设金属导体中单位体积中的自由电子数为n，则金属导体中自由电子总数

设自由电子的带电量为e，连续两次碰撞时间间隔为t0，定向移动的平均速度为υ，则一次碰撞的能量转移

一个自由电子在时间t内与金属离子碰撞次数为

金属导体中在时间t内全部自由电子与金属离子碰撞，产生的焦耳热

又

U=IR

联立解以上各式推导得

方法2：

设金属导体长为L，横截面积为S，两端电压为U，导线中的电场强度

E=

设金属导体中单位体积中的自由电子数为n，则金属导体中自由电子数

在纯电阻电路中，电流做的功等于焦耳热，即Q=W

电流做的功等于电功率乘时间

W=Pt

电功率等于电场力对长为L的导线中所有带电粒子做功功率的总和

自由电子受的电场力

F=Ee

又

U=IR

联立解以上各式推导得