题目内容

20．如图所示，在直角坐标系xoy的第一、四象限内存在边界平行y轴的两个有界匀强磁场：垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ．O、M、P、Q为磁场边界和x轴的交点，OM=MP=L；在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场．一质量为m，带电量为+q的带电粒子从电场中坐标为（-$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$，-L）的A点以速度v0沿+x方向射出，恰好经过原点O射入区域Ⅰ，从C点射出区域Ⅰ，从某点射入区域Ⅱ，射入时速度与+x轴方向成30°角斜向下．经区域Ⅱ的磁场偏转后又从C点进入区域Ⅰ．求：
（1）电场强度E及带电粒子到达O点时的速度大小和方向；
（2）粒子从C点射出又回到C点用的时间t；
（3）区域Ⅰ的磁感应强度B的大小．

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据沿电场方向做匀加速直线运动，垂直电场方向做匀速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小，以及带电粒子到达O点时的速度大小和方向；
（2）作出粒子的运动轨迹，结合几何关系求出粒子在区域 II中做圆周运动的轨道半径，根据周期的大小求出粒子在区域 II磁场中运动时间，根据粒子在磁场外运动的时间得出粒子从C点射出又回到C点用的时间．
（3）根据几何关系求出粒子在区域Ⅰ中的轨道半径，结合半径公式求出磁感应强度的大小．

解答 解：（1）带电粒子做类平抛运动
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
根据牛顿第二定律得，qE=ma，
$\frac{2\sqrt{3}}{3}L={v}_{0}t$
解得电场强度E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．
带电粒子从A点到O点，根据动能定理
$qEL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
cosα=$\frac{{v}_{0}}{v}$
解得带电粒子在O点的速度大小v=2v0．
方向为与x轴夹角α=60°．
（2）由几何关系有
$2\frac{L}{sin60°}cos60°=2{r}_{2}cos30°$，
解得带电粒子在区域 II中做圆周运动的轨道半径${r}_{2}=\frac{2}{3}L$．
粒子在区域 II磁场中运动时间：T=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$，
${t}_{1}=\frac{2}{3}T=\frac{4πL}{9{v}_{0}}$，
在磁场外运动时间：${t}_{2}=\frac{L}{vsin60°}=\frac{2\sqrt{3}L}{3{v}_{0}}$，
带电粒子从C点射出又回到C点用的时间
t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（6\sqrt{3}+4π）L}{9{v}_{0}}$．
（3）由几何关系有 r1cos30°+r1sin30°=L，
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得区域Ⅰ的磁感应强度：B=$\frac{（\sqrt{3}+1）m{v}_{0}}{qL}$．
答：（1）电场强度E为$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$，带电粒子到达O点时的速度大小为2v0，方向为与x轴夹角α=60°；
（2）粒子从C点射出又回到C点用的时间t为$\frac{（6\sqrt{3}+4π）L}{9{v}_{0}}$；
（3）区域Ⅰ的磁感应强度B的大小为$\frac{（\sqrt{3}+1）m{v}_{0}}{qL}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．

练习册系列答案
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