Question

如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A₂A₄为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，直径A₂A₄与A₁A₃的夹角为60°．一质量为m、带电荷量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A₁处沿与A₁A₃成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A₂A₄的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后从A₄处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t．（忽略粒子重力）．
（1）求粒子在Ⅰ区和Ⅱ区中的速度偏角φ₁和φ₂
（2）求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小B₁和B₂．

Answer 1

分析：由题意可知粒子在两磁场中的转动轨迹，由几何关系可知两圆的半径，则由洛仑兹力充当向心力可列出方程；再根据在两磁场中转过的圆心角可求得在两磁场中的时间，则由两粒子在两磁场中运动的总时间可列出关于时间的表达式，联立可解得磁感应强度．

解答：解：设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A₄点射出，
用B₁、B₂、R₁、R₂、T₁、T₂分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度、轨道半径和周期qvB1=m

v2

R1

①
qvB2=m

v2

R2

②
T1=

2πR1

v

=

2πm

qB1

③
T2=

2πR2

v

=

2πm

qB2

④
设圆形区域的半径为r，如答图所示，已知带电粒子过圆心且垂直A₃A₄进入Ⅱ区磁场，
连接A₁A₂，△A₁OA₂为等边三角形，A₂为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心，
其半径R₁=A₁A₂=OA₂=r⑤
圆心角∠A₁A₂O=60°，
所以粒子在Ⅰ区中的速度偏角φ₁为60°，
带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为t1=

1

6

T1⑥
带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA₄的中点，即R=

1

2

r ⑦
所以粒子在Ⅱ区中的速度偏角φ₂为120°，
在Ⅱ区磁场中运动时间为t2=

1

2

T2⑧
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t=t₁+t₂⑨
由以上各式可得B1=

5

6

πM

qt

⑩B2=

5

3

πM

qt

故I区磁感应强度为

5

6

πM

qt

；II区磁感应强度为

5

3

πM

qt

．

点评：带电粒子在磁场中的运动，一般可先确定圆心求出半径，再由洛仑兹力充当向心力及圆的性质求解．