Question

6．先后让一束质子（${\;}_{1}^{1}$H）和一束α粒子（${\;}_{2}^{4}$He）通过同一对平行金属板形成的偏转电场，已知板长为L，板间距为d，粒子进入时速度方向与板平行．求：
（1）质子和α粒子以相同的初速度v₀射入时的侧向偏移量之比；
（2）质子和α粒子以相同的初动能射入时的偏转角度正切值之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律求得加速度；粒子垂直于电场方向做匀速直线运动，平行于电场方向做初速度为零的匀加速运动，由运动学公式求出侧移量的表达式，结合两个粒子的比荷，进行求解．
（2）粒子垂直于电场方向做匀速直线运动，平行于电场方向做初速度为零的匀加速运动，由运动学公式求出偏角的正切表达式，结合两个粒子的比荷，进行求解．

解答 解：（1）粒子做类似平抛运动，加速度为：
a=$\frac{qE}{m}$
根据分位移公式，有：
L=v₀t 
$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$ 
联立解得：
y=$\frac{qE{L}^{2}}{2m{v}_{0}^{2}}$
质子（${\;}_{1}^{1}$H）和α粒子（${\;}_{2}^{4}$He）的初速度相同，故：
y∝$\frac{q}{m}$
故$\frac{{y}_{H}}{{y}_{α}}=\frac{\frac{{q}_{H}}{{m}_{H}}}{\frac{{q}_{α}}{{m}_{α}}}=\frac{{q}_{H}}{{q}_{α}}×\frac{{m}_{α}}{{m}_{H}}=\frac{1}{2}×\frac{4}{1}=\frac{2}{1}$
（2）粒子做类似平抛运动，加速度为：
a=$\frac{qE}{m}$
根据分运动公式，有：
v_x=v₀
v_y=at 
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
联立解得：
tanθ=$\frac{qEL}{m{v}_{0}^{2}}$
质子和α粒子以相同的初动能射入，故：
tanθ∝q
故质子和α粒子的偏转角度正切值之比为：
$\frac{tan{θ}_{H}}{tan{θ}_{α}}$=$\frac{{q}_{H}}{{q}_{α}}=\frac{1}{2}$
答：（1）质子和α粒子以相同的初速度v₀射入时的侧向偏移量之比为2：1；
（2）质子和α粒子以相同的初动能射入时的偏转角度正切值之比为1：2．

点评 本题中带电粒子在偏转电场中做类平抛运动，其研究方法是运动的分解和合成，运用牛顿第二定律和运动学公式推导出偏角的正切是关键．