Question

如图所示，竖直放置的质量为4m，长为L的圆管顶端塞有一个质量为m的弹性圆球，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等．求：
（1）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件．
（2）圆管上升的最大高度是多少？
（3）圆管第二次弹起后圆球不致滑落，L又应满足什么条件？

Answer 1

（1）取竖直向下的方向为正方向．
球与管第一次碰地前瞬间速度v0=

2gH

，方向向下．
碰地后的瞬间管的速度v管=-

2gH

，方向向上；球的速度v球=

2gH

，方向向下，
球相对于管的速度v相=2

2gH

，方向向下．
碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度a_管=2g，方向向下，
球受重力及向上的摩擦力，加速度a_球=3g，方向向上，
球相对管的加速度a_相=5g，方向向上．
取管为参照物，则球与管相对静止前，球相对管下滑的距离为：s相1=

v 2相

2a

=

(2 2gH )2

2×5g

要满足球不滑出圆管，则有L＞S相1=

4

5

H．
（2）设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t₁（设球与管在这段时间内摩擦力方向不变），则：t1=

- v 管

a管

=

2gH

2g

设管从碰地到与球相对静止所需时间为t₂，t2=

- v 相

a相

=

2 2gH

5g

因为t₁＞t₂，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升至最高点，设球与管达到相对静止时离地高度为h′，两者共同速度为v′，分别为：v′=v管-a管t2=

1

5

2gH

h′=v管t2-

1

2

a管t2=

12

25

H
然后球与管再以共同速度v′作竖直上抛运动，再上升高度h″为h″=

v′2

2g

=

( 1 5 2gH )

2g

=

1

25

H
因此，管上升最大高度H’=h′+h″=

13

25

H
（3）当球与管第二次共同下落时，离地高为

13

25

H，球位于距管顶

4

5

H处，同题（1）可解得在第二次反弹中发生的相对位移．
答：（1）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足大于

4

5

H的条件．
（2）圆管上升的最大高度是

13

25

H；
（3）圆管第二次弹起后圆球不致滑落，L又应满足条件是离地高为

13

25

H，球位于距管顶

4

5

H处．