Question

15．据报道，中国“嫦娥四号”将在2020年前择时发射，届时将开展人类首次对月球背面的地质探测，设地球、月球的质量分别为m₁、m₂，半径分别为R₁、R₂，地球第一宇宙速度为v，所对应的周期为T，试求“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行的速度和周期．

Answer 1

分析 根据题意可知，人造地球卫星围绕地球表面做匀速圆周运动时，速度为v，周期为T，根据万有引力提供向心力列式，嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，联立方程即可求解．

解答 解：根据题意可知，人造地球卫星围绕地球表面做匀速圆周运动时，速度为v，周期为T，
根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{{m}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$=$m\frac{4{π}^{2}{R}_{1}}{{T}^{2}}$，
“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{{m}_{2}m}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}{R}_{2}}{{T′}^{2}}$
解得：v₂=$v\sqrt{\frac{{m}_{2}{R}_{1}}{{m}_{1}{R}_{2}}}$，${T}_{2}=\sqrt{\frac{{m}_{1}{{R}_{1}}^{3}}{{m}_{2}{{R}_{2}}^{3}}}T$
答：“嫦娥四号”在环绕月球表面附近圆轨道飞行的速度为$v\sqrt{\frac{{m}_{2}{R}_{1}}{{m}_{1}{R}_{2}}}$，周期为$\sqrt{\frac{{m}_{1}{{R}_{1}}^{3}}{{m}_{2}{{R}_{2}}^{3}}}T$．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，知道地球第一宇宙速度就是人造地球卫星围绕地球表面做匀速圆周运动时的速度，难度适中．