题目内容
（2009?武昌区模拟）在xOy平面内，有许多电子从坐标原点O不断以大小为v0的速度沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求进入该磁场的电子穿过该磁场后都能平行于y轴向y轴负方向运动．已知电子的质量为m、电荷量为e．（不考虑电子间的相互作用力和重力，且电子离开O点即进入磁场．）（1）求电子做作圆周运动的轨道半径R；
（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围（用阴影线表示）；
（3）求该磁场的最小面积．
分析：（1）从第一象限射入的电子，速度的大小相同，根据洛伦兹力提供向心力，写出方程，求得电子运动的半径；
（2）作出平行于y轴入射的电子轨迹和平行于x轴入射的电子的轨迹，两个电子的运动半径相同，通过几何关系可知可得知磁场最小面积时的图形．
（3）结合平行于y轴射入的电子和平行于x轴方向射入的电子的轨迹，结合几何关系可得知磁场最小面积时的图形，从而可得出最小面积．
（2）作出平行于y轴入射的电子轨迹和平行于x轴入射的电子的轨迹，两个电子的运动半径相同，通过几何关系可知可得知磁场最小面积时的图形．
（3）结合平行于y轴射入的电子和平行于x轴方向射入的电子的轨迹，结合几何关系可得知磁场最小面积时的图形，从而可得出最小面积．
解答：
解：（1）设电子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：ev0B=m
：
R=
（2）如图所示，初速度沿y轴正方向的电子运动的轨迹构成磁场的“最小面积”对应的上边界a，其表达式为：
（x-R）2+y2=R2 ①，（其中0≤x≤2R，0≤y≤R）
当电子与x轴成α角入射时，电子从坐标为（x，y）的P点射出磁场，则所有出射点的方程有：
（x-R）2+y2=R2②，
上式即为磁场的右下边界b．
当电子与x轴成α=0角入射时，电子的运动轨迹构成磁场的左下边界c，其表达式为：
x2+（R-y）2=R2 ③
由①②③所包围的面积就是磁场的最小范围，如图所示：
（3）最小面积：S=R2+
=
=
?
答：（1）电子做作圆周运动的轨道半径R=
；
（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围如图；
（3）该磁场的最小面积为
?
．
解：（1）设电子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：ev0B=m| v2 |
| R |
R=
| mv0 |
| eB |
（2）如图所示，初速度沿y轴正方向的电子运动的轨迹构成磁场的“最小面积”对应的上边界a，其表达式为：
（x-R）2+y2=R2 ①，（其中0≤x≤2R，0≤y≤R）
当电子与x轴成α角入射时，电子从坐标为（x，y）的P点射出磁场，则所有出射点的方程有：
（x-R）2+y2=R2②，
上式即为磁场的右下边界b．
当电子与x轴成α=0角入射时，电子的运动轨迹构成磁场的左下边界c，其表达式为：
x2+（R-y）2=R2 ③
由①②③所包围的面积就是磁场的最小范围，如图所示：
（3）最小面积：S=R2+
| πR2 |
| 2 |
| (2+π)R2 |
| 2 |
| 2+π |
| 2 |
m2
| ||
| e2B2 |
答：（1）电子做作圆周运动的轨道半径R=
| mv0 |
| eB |
（2）在图中画出符合条件的磁场最小面积范围如图；
（3）该磁场的最小面积为
| 2+π |
| 2 |
m2
| ||
| e2B2 |
点评：本题在审题时要关注以下两点：
（1）从第一象限射入的电子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内．
（2）能够正确画出粒子射出磁场的边界．
（1）从第一象限射入的电子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内．
（2）能够正确画出粒子射出磁场的边界．
练习册系列答案
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