Question

10．如图所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距为D，其右侧有一边长为2a的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板M、N之间加上电压U后，M板电势高于N板电势．现有一带正电的粒子，质量为m、电荷量为q，其重力和初速度均忽略不计，粒子从极板M的中央小孔S₁处射入电容器，穿过小孔S₂后从距三角形A点$\sqrt{3}$a的P处垂直AB方向进入磁场，试求：
（1）粒子到达小孔S₂时的速度；
（2）若粒子从P点进入磁场后经时间t从AP间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强度的大小；
（3）若粒子能从AC间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在加速电场中，电场力做功，由动能定理求出速度v，根据运动学公式求出所以时间．
（2）粒子从进入磁场到从AD间离开，根据半径公式，周期公式结合几何关系即可求解；
（3）粒子从进入磁场到从AC间离开，画出运动轨迹，找出临界状态，根据半径公式结合几何关系即可求解；

解答 解：（1）带电粒子在电场中运动时，由动能定理得，qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得粒子进入磁场时的速度大小为v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子的轨迹图如图所示，粒子从进入磁场到AP间离开，由牛顿第二定律可得，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子在磁场中运动的时间为t=$\frac{πR}{v}$，
由以上两式可得轨道半径R=$\frac{\sqrt{2qUm}}{πm}t$，
磁感应强度B=$\frac{πm}{qt}$．
（3）粒子从进入磁场到从AC间离开，若粒子恰能到达BC边界，如图所示，设此时的磁感应强度为B₁，根据几何关系有此时粒子的轨道半径为${R}_{1}=2asin60°=\sqrt{3}a$，
由牛顿第二定律可得，$q{vB}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
由以上两式可得${B}_{1}=\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}$，
粒子从进入磁场到从AC间离开，若粒子恰能到达AC边界，如图所示，设此时的磁感应强度为B₂，
由牛顿第二定律可得，$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由以上两式解得${B}_{2}=\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．
综上所述要使粒子能从AC间离开磁场，磁感应强度应满足：$\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}≤B≤\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．
答：（1）粒子到达小孔S₂时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子的运动半径为$\frac{\sqrt{2qUm}}{πm}t$，磁感应强度的大小为$\frac{πm}{qt}$．
（3）磁感应强度应满足$\frac{\sqrt{6qUm}}{3qa}≤B≤\frac{（2+\sqrt{3}）\sqrt{2qUm}}{3qa}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，能根据半径公式，周期公式结合几何关系求解，难度较大．