Question

如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与    撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P(x＝0，y＝h)点以一定的速度平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R₀的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x＝R₀平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点．不计重力．求：

⑴粒子到达x＝R₀平面时速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离；

⑵M点的横坐标x_M．

Answer 1

（1）  h+   (2)2R₀+

解析：（Ⅰ）设粒子质量、带电量和入射速度分别为m,q和v₀,则电场的场强E和磁场的磁感应强度B应满足下述条件

qE=qv₀B                                             ①

qv₀B=m                                         ②

现在，只有电场，入射粒子将以与电场方向相同的加速度

a=                                              ③

做类平抛运动.粒子从P（x=0,y=h)点运动到x=R₀平面的时间为

t=                                              ④

粒子到达x=R₀平面时速度的y方向分量为v_y=at          ⑤

由①②③④⑤式得v_y=v₀                               ⑥

此时粒子速度大小为

v==v₀                                 ⑦

速度方向与x轴的夹角为θ=                         ⑧

粒子与x轴的距离为H=h+at²=h+.                 ⑨

（Ⅱ）撤除电场加上磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动.设圆轨道半径为R，则

qvB=m                                           ⑩

由②⑦⑩式得R=R₀                               

    粒子运动的轨迹如图所示，其中圆弧的圆心C位于与速度v的方向垂直的直线上，该直线与x轴和y轴的夹角均为π/4.由几何关系及式知C点的坐标为

x_c=2R₀,

y_c=H-R₀=h-                                               

过C点作x轴的垂线，垂足为D.，在△CD.M中

CM=R=R₀,

CD=y_c=h-R₀

由此求得

DM=                        

M点的横坐标为

X_M=2R₀+.