Question

（14分）如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m＝0.2 kg的小球从轨道的最低点A以初速度v₀向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R＝0.2 m，取g＝10 m/s².(1)若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？(2)若v₀＝3 m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N＝2 N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？(3)若v₀＝3 m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

Answer 1

(1)3.16 m/s　(2)0.1 J　(3)6 N　0.5 J

试题分析：(1)设此情形下小球到达最高点的最小速度为v_C，则有
小球从A运动到C由机械能守恒定律有
m＝m＋2mgR  
代入数据解得v₀＝ m/s＝3.16 m/s.
(2)设此时小球到达最高点的速度为v_C′，克服摩擦力做的功为W，则
 

代入数据解得W＝0.1 J． 
(3)经足够长的时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为N_A，则有

代入数据解得N_A＝6 N
设小球在整个运动过程中减少的机械能为ΔE，由功能关系有 
代入数据解得ΔE＝0.5 J．