Question

如图所示，两个共轴金属圆筒轴线O与纸面垂直，内筒筒壁为网状（带电粒子可无阻挡地穿过网格），半径为R．内圆筒包围的空间存在一沿圆筒轴线方向指向纸内的匀强磁场，磁场的磁感应强度的大小为B．当两圆筒之间加上一定电压后，在两圆筒间的空间可形成沿半径方向这指向轴线的电场．一束质量为m、电量为q的带正电的粒子自内圆筒壁上的A点沿内圆筒半径射入磁场，经磁场偏转进入电场后所有粒子都刚好不与外筒相碰．试问：
（1）要使粒子在最短时间内再次到达A点，粒子的速度应是多少？再次到达A点在磁场中运动的最短时间是多长？
（2）要使粒子在磁场中围绕圆筒的轴线O运动一周时恰能返回A点，则内、外筒之间的电压需满足什么条件？

Answer 1

【答案】分析：（1）设带电粒子自A点沿内圆筒半径方向射入磁场时的速度用v表示，进入磁场后，在洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，并从内筒表面上的A₁点射出磁场，射出磁场时的速度大小仍为v，方向沿过A₁点的内圆筒半径方向，如图所示．粒子自A₁射出磁场后便进入两圆筒间的电场中，在电场力的作用下，粒子做减速直线运动，刚到达外圆筒的内壁时，速度恰好减至零．然后粒子又在电场力作用下向A₁点做加速运动，回到时，粒子速度增大到v，并以此速度沿圆筒内圆半径方向第二次进入磁场，在磁场的洛仑兹力作用下，粒子又做圆周运动，并从A₂点射出磁场．此后，粒子又再一次在电场中减速，到达外壁时调转方向加速回到A₂点，从A₂点进入磁场，再做圆周运动并从A₃点射出磁场．这一过程多次重复到最后，粒子再次从A点射出磁场．要使粒子在最短时间内再次到达A点，轨迹对应的圆心角最小，且在磁场中旋转的次数最少，可知，粒子进入电场两次，根据轨迹的形状和几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律求解速度，根据轨迹的圆心角求时间．
（2）要使粒子在磁场中围绕圆筒的轴线O运动一周时恰能返回A点，设粒子进入电场共n次，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求得其速率，再根据动能定理求出电压应满足的条件．
解答：解：（1）设带电粒子自A点沿内圆筒半径方向射入磁场时的速度用v表示，进入磁场后，在洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，当粒子第三次进入磁场时，轨迹对应的圆心角最小，所用时间最短，由几何知识得：此时轨迹的圆心角φ=180°-120°=60°
  则轨迹半径为 r=Rtan60°=R
根据牛顿第二定律得：qvB=m
联立解得，v=
运动的最短时间为t_min=3×T==
（2）设粒子做圆周运动的半径为r，从A点射入磁场到从A₁点射出磁场绕圆心o’转过的角度为Ф，过A点和A₁点的内圆筒半径对其轴线o的张角为θ，如图所示．有 Φ+θ=π ①
要使粒子在磁场中围绕圆筒的轴线O运动一周时恰能返回A点，若粒子在磁场中经过n次偏转后能从A点射出磁场，应满足条件nθ=2π ②（n=3，4，5…）
解得θ= ③
连结图中的OO′，由直角三角形AOO′可得：tan= ④
因r是粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动的轨道半径，有r= ⑤
由③④⑤式得到粒子射入磁场时的速度v=tan ⑥
 设加在两圆筒间的电压为U，由能量守恒有
   qU=  ⑦
由⑥⑦解得，U=（n=3，4，5…）
答：
（1）要使粒子在最短时间内再次到达A点，粒子的速度应是，再次到达A点在磁场中运动的最短时间是．
（2）要使粒子在磁场中围绕圆筒的轴线O运动一周时恰能返回A点，则内、外筒之间的电压需满足条件是U=（n=3，4，5…）．
点评：本题是有界磁场的问题，要充分运用几何知识画出轨迹、分析和求解轨迹半径和圆心角，考查运用数学知识解决物理问题的能力，难度较大．