题目内容
（2002?河南）如图（a）所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板之间有一带负电的质点P．已知若在A、B间加电压Uo，则质点P可以静止平衡．现在A、B间加上如图（b）所示的随时间t变化的电压u．在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为零．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图（b）中u改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式．（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次．）分析：先求出加速上升的加速度和减速上升的加速度，根据运动学公式列式求解出t1；再计算出加速下降和减速下降的加速度，根据运动学公式求解出t2；然后逐步扩展到第n次上升和下降．
解答：解：设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有
?
=mg，
?当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a，则
-mg=ma，
?解得a=g．
?当两板间的电压为零时，P自由下落，加速度为g，方向向下．
?在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速度为零的匀加速运动，加速度为g．设经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1′，P正好到达A板且速度为零，故有
?v1=gτ1，0=v1-gτ1′，
?
d=
gτ12+v1τ1′-
gτ1′2，
?由以上各式，得
?τ1=τ1′，τ1=
，
?因为t1=τ1，得t1=
．
?在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为v2，方向向下，这时加上电压使P做匀减速运动，经过时间τ2′，P到达B板且速度为零，故有
?v2=gτ2，0=v2-gτ2′，
?d=
gτ22+v2τ2′-
gτ2′2，
?由以上各式，得τ2=τ2′，τ2=
，
?因为t2=t1+τ1′+τ2，
?得t2=（
+1）
．
?在电场力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动．经过时间τ3′，P正好到达A板且速度为零，故有
?v3=gτ3，0=v3-gτ3′，
?d=
gτ32+v3τ3′-
gτ3′2
?由上得τ3=τ3′，τ3=
，
?因为t3=t2+τ2′+τ3，
?得t3=（
+3）
．
?根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过时间τ2，再加上电压，经过时间τ2′，P到达B且速度为零，因为t4=t3+τ3′+τ2，
?得t4=（
+5）
．
?同样分析可得
?tn=（
+2n-3）
．（n≥2）
故图（b）中u改变的各时刻t1=
，t2=（
+1）
，t3=（
+3）
，及tn=（
+2n-3）
（n≥2）．
?
| qU0 |
| d |
?当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a，则
| 2qU0 |
| d |
?解得a=g．
?当两板间的电压为零时，P自由下落，加速度为g，方向向下．
?在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速度为零的匀加速运动，加速度为g．设经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1′，P正好到达A板且速度为零，故有
?v1=gτ1，0=v1-gτ1′，
?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
?由以上各式，得
?τ1=τ1′，τ1=
| ||
| 2 |
|
?因为t1=τ1，得t1=
| ||
| 2 |
|
?在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为v2，方向向下，这时加上电压使P做匀减速运动，经过时间τ2′，P到达B板且速度为零，故有
?v2=gτ2，0=v2-gτ2′，
?d=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
?由以上各式，得τ2=τ2′，τ2=
|
?因为t2=t1+τ1′+τ2，
?得t2=（
| 2 |
|
?在电场力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动．经过时间τ3′，P正好到达A板且速度为零，故有
?v3=gτ3，0=v3-gτ3′，
?d=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
?由上得τ3=τ3′，τ3=
|
?因为t3=t2+τ2′+τ3，
?得t3=（
| 2 |
|
?根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过时间τ2，再加上电压，经过时间τ2′，P到达B且速度为零，因为t4=t3+τ3′+τ2，
?得t4=（
| 2 |
|
?同样分析可得
?tn=（
| 2 |
|
故图（b）中u改变的各时刻t1=
| ||
| 2 |
|
| 2 |
|
| 2 |
|
| 2 |
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点评：本题关键在于运用牛顿运动定律得到各个时间段的加速度，然后根据运动学公式逐步计算，最后总结规律得到tn的一般表达式．
练习册系列答案
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