题目内容
1.图中给出了一段“S”形单行盘山公路的示意图,弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧.圆心分别为O1、O2,弯道中心线半径分别为r1=10m,r2=20m,弯道2比弯道1高h=12m,有一直道与两弯道圆弧相切,质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动,路面对轮胎的最大径向静摩擦力及车重的1.25倍,行驶时要求汽车不打滑.(sin37°=0.6,cos37°=0.8)(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1;
(2)汽车以v1进入直道,以P=30kW的恒定功率直线行驶了t=8.0s进入弯道2,此时速度恰好为通过弯道2中心线的最大速度,求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功;
(3)汽车从弯道1的A点进入,从同一直径上的B点驶离,有经验的司机会利用路面宽度用最短时间匀速安全通过弯道,设路宽d=10m,求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上,计算时视汽车为质点).
分析 (1)汽车拐弯时靠静摩擦力提供向心力,当静摩擦力达到最大时,汽车的速度最大,根据牛顿第二定律求出汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1;
(2)同理求出汽车沿弯道2中心线行驶时的最大速度v2,再研究汽车在直道上行驶的过程,运用动能定理求阻力对汽车做的功;
(3)当汽车沿着与弯道1内切的弧线运动时时间最短,且速度最大,根据几何关系求出该弧线的半径,结合运动学公式求最短时间.
解答 解:(1)当汽车所受的静摩擦力达到最大时,速度最大,根据牛顿第二定律得:
kmg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
可得汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度为:v1=$\sqrt{kg{r}_{1}}$=$\sqrt{1.25×10×10}$=5$\sqrt{5}$m/s
(2)汽车沿弯道2的最大速度设为v2.由牛顿第二定律得:
kmg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
代入数据解得:v2=5$\sqrt{10}$m/s
汽车直道上行驶的过程,由动能定理得:
pt-mgh+W阻=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据解得阻力对汽车做的功为:W阻=-2.1×104J
(3)用时最短时必须速度最大,且路程最短,即沿如图所示内切的路线行驶时时间最短.(黑色两端分别是A、B)
由图可得:r′2=${r}_{1}^{2}$+$[r′-({r}_{1}-\frac{d}{2})]^{2}$
代入数据解得:r′=12.5m
汽车沿该线路行驶的最大速度设为v′.则有:kmg=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
代入数据解得:v′=12.5m/s
由sinθ=$\frac{{r}_{1}}{r′}$=0.8
则对应的圆心角为:2θ=106°
线路的长度为:s=$\frac{106}{360}×2πr′$
解得:s=23.1m
所以最短时间为:t′=$\frac{s}{v′}$=$\frac{23.1}{12.5}$≈1.85s
答:(1)汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1是5$\sqrt{5}$m/s.
(2)直道上除重力以外的阻力对汽车做的功是-2.1×104J.
(3)此最短时间是1.85s.
点评 解决本题的关键知道汽车拐弯时向心力的来源,结合牛顿第二定律求得汽车的最大速度,同时,要能灵活运用几何知识求得最短的线路长度.
A. | 在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 | |
B. | 在任意时间内位移的大小总是大于路程 | |
C. | 在任意时刻质点受到的合外力不可能为零 | |
D. | 速度与合外力的方向必不在一直线上 |
A. | v0的最小值为$\sqrt{gL}$ | |
B. | v0由零逐渐增大,向心力也逐渐增大 | |
C. | 当v0由$\sqrt{gL}$值逐渐增大时,杆对小球的弹力也逐渐增大 | |
D. | 当v0为$\sqrt{gL}$时,小球运动到最低点时的速度为5$\sqrt{gL}$ |
A. | 小球的线速度大小 | B. | 小球的角速度大小 | ||
C. | 小球的向心加速度大小 | D. | 小球所受拉力的大小 |
A. | 加速度大小可能为零 | B. | 速度大小一定改变 | ||
C. | 加速度方向一定改变 | D. | 速度方向一定改变 |
A. | 电场中某点的场强大小与该点的检验电荷所受电场力成正比,与其电量成反比 | |
B. | 将放在电场中某点的电荷q改为-q,则该点的电场强度大小不变,方向与原来相反 | |
C. | 电场中某点的场强与该点有无检验电荷无关 | |
D. | 电场中某点的场强方向就是检验电荷在该点所受电场力的方向 |
A. | 在第1s内,线框中感应电流为逆时针方向,大小恒定为0.3A | |
B. | 在第2s内,穿过线框的磁通量最大,感应电流大小恒定为0.6A | |
C. | 在第3s内,线框中感应电流方向为顺时针方向,大小恒定为0.3A | |
D. | 在第1s内,线框中C点电势高于D点电势,感应电流大小为0 |
A. | 0~2 s内外力的平均功率是4 W | |
B. | 第2 s内外力所做的功是4 J | |
C. | 第2 s末外力的瞬时功率最大 | |
D. | 第1 s末与第2 s末外力的瞬时功率之比为9:4 |