Question

17．某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下．已知轿车在A点的速度v_o=72km/h，AB长L₁=150m；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度）v=36km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数u=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，C段长L₂=50m，重力加速度g取10m/s²．
（1）若轿车到达B点时速度为v₁=18km/h，求轿车在AB段加速度的大小；
（2）为保证行车安全，车轮不侧滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
（3）轿车从A点到D点所用的最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）轿车在AB段做匀减速直线运动，已知初速度、位移和末速度，根据速度位移关系公式求解加速度．
（2）轿车在BC段做匀速圆周运动，由静摩擦力充当向心力，为保证行车安全，车轮不打滑，所需要的向心力不大于最大静摩擦力，据此列式求解半径R的最小值．
（3）分三段，分别由运动学公式求解时间，即可得到所用的最短总时间．

解答 解：（1）v₀=72km/h=20m/s，v₁=18km/h=5m/s，
根据速度位移公式得，${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2a{L}_{1}$，解得轿车在AB段的加速度大小$a=\frac{400-25}{300}m/{s}^{2}=1.25m/{s}^{2}$．
（2）汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供 向心力，
${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
为了确保安全，则须满足F₁≤μmg，
代入数据解得R≥20m，即R_min=20m．
（3）设AB段时间为t₁，BC段时间为t₂，CD段时间为t₃，全程的最短时间为t，
${L}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$，
$\frac{1}{2}πR=v{t}_{2}$，
${L}_{2}=\frac{v}{2}{t}_{3}$，
总时间t=t₁+t₂+t₃，
代入数据解得t=23.14s．
答：（1）轿车在AB段加速度的大小为1.25m/s²；
（2）水平圆弧段BC半径R的最小值为20m；
（3）轿车从A点到D点所用的最短时间为23.14s．

点评 本题是运动学与动力学综合题，能结合物体的运动情况，灵活选择运动学的公式形式是关键，当不涉及加速度而要求时间时，可用位移等于平均速度乘以时间来求．