Question

11．如图所示，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10^-3T，一带正电荷的粒子以v=3.5×10⁴m/s的速率从x轴上的P（0，0.5）处射入磁场，从y轴上的M（0.5，0）处射出磁场，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计粒子的重力．
（1）求上述粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿x轴负方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出粒子射出磁场处的坐标；
（3）如果要求该粒子按题设条件从M处射出磁场，第一象限内的磁场可以局限在一个最小矩形区域内，请在图中画出该矩形，并求出此矩形磁场区域的面积．

Answer 1

分析 （1）考查带电粒子在磁场中的运动，根据粒子的运动的轨迹可以求得粒子的比荷．
（2）粒子做的是匀速直线运动，所以粒子处于受力平衡状态，由此可以求得电场的大小和方向．
（3）是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动，当磁场和带电粒子的轨迹相切时，磁场的面积最小

解答 解：（1）该粒子在磁场中运动半径为r，如图甲所示：
依题意MP连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的最小直径，
由几何关系得：r=$\frac{MP}{2}$=$\frac{\sqrt{0．{5}^{2}+0．{5}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m  ①
粒子圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$   ②
由①②解得：$\frac{q}{m}$=5.0×10^-7C/kg；
（2）设所加电场的场强大小为E，如图乙所示，当粒子经过Q点时，速度沿x轴负方向，
依题意，在此时加一个沿y轴正方向的匀强电场、电场力与洛伦兹力平衡则有：Eq=qvB，
代入数据得：E=70N/C，所加电场的场强方向沿y轴正方向．
由几何关系可知，圆弧MQ所对应的圆心角为45°则射出点A对应y轴截距为：
|OA|=r+$\frac{1}{2}$OP=$\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{0.5}{2}$≈0.6m，则粒子射出磁场处A点的坐标为（0m，0.6m）
（3）如图丙所示，所求的最小矩形是MM₁P₁P，
该区域面积为：s=2r²，代入r=0.35m可得：
s=0.25m²
答：（1）粒子A的比荷$\frac{q}{m}$为5.0×10^-7C/kg；
（2）该匀强电场的场强大小为70N/C，方向：沿y轴正方向，粒子射出磁场处的坐标值（0m，0.6m）；
（3）如图所示，这个最小的矩形区域的面积为0.25m²．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．