Question

如图所示，在同一竖直平面内两正对着的半径为R的相同半圆滑轨道，相隔一定的距离x，虚线沿竖直方向，一质量为m的小球能在其间运动．今在最低点B与最高点A各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来．当轨道距离x不同时，测得两点压力差△F_N与距离x的图象如右图所示．（不计空气阻力，g取10m/s²
（1）当x=R时，为使小球不脱离轨道运动，求小球在B点的最小速度（用物理量的符号表示）
（2）试写出A、B两点的压力差△F_N与 x的函数关系．（用m、R、g表示）
（3）根据图象，求小球的质量和轨道半径．

Answer 1

分析：（1）小球在轨道内只有重力做功，机械能守恒；最高点时的临界条件为重力充当向心力，则由机械能守恒可得出B点的最小速度；
（2）由向心力公式可得出AB两点时的压力，则可求得压力之差的表达式；
（3）由得出的压力之差的表达式，结合图象可以得出物体质量及轨道半径．

解答：解：
（1）小球恰能在A点沿轨道运动时：
mg=m

v 2 A

R

                               
此时，小球在B点动能最小，由机械能守恒：

1

2

mv_B²=mg3R+

1

2

mv_A²                      
解得：v_B=

7gR

（2）在B点：F_NB-mg=m

v 2 B

R

                    
在A点：F_NA+mg=m

v 2 A

R

                       
小球从A到B机械能守恒：

1

2

mv_B²=mg（2R+x）+

1

2

mv_A²                    
两点的压力差：△F_N=F_NB-F_NA=6mg+

2mgx

R

（3）由图象知：
截距：6mg=2.4
m=0.04kg
斜率：k=

2mg

R

=2
R=0.4m
答：（1）B点的最小速度为

7gR

； （2）两点压力差的绝对值为6mg+

2mgx

R

；（3）小球的质量为0.04kg；半径为0.4m．

点评：机械能守恒与圆周运动的结合为常见题型，在解题时要注意临界条件的确定，并能正确选择机械能守恒列式求解．