Question

9．如图所示，光滑直杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k，原长为L₀的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．重力加速度为g．
（1）当小球随光滑直杆一起绕OO'轴匀速转动时，弹簧伸长量为△L，求匀速转动的角速度ω；
（2）若θ=30°，移去弹簧，当杆绕OO'轴以角速度ω₀=$\sqrt{\frac{g}{L}}$匀速转动时，小球恰好在杆上某一位置随杆在水平面内匀速转动，求小球离B点的距离．

Answer 1

分析 （1）设弹簧伸长△l₂时，对小球受力分析，根据向心力公式列式求解；
（2）当杆绕OO'轴以角速度ω₀匀速转动时，重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式列式求解即可．

解答 解：（1）设弹簧伸长时△L，球受力如图所示，
水平方向上有：${F}_{N}sinθ+k△Lcosθ=m{ω}^{2}（{L}_{0}+△L）cosθ$
竖直方向上有：F_Ncosθ-k△Lsinθ-mg=0
解得：ω=$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$
（2）当杆绕OO'轴以角速度ω₀匀速转动时，设小球距离B点L₀，有：
mgtanθ=mω²rcosθ
解得：$r=\frac{2}{3}L$
答：（1）当小球随光滑直杆一起绕OO'轴匀速转动时，弹簧伸长量为△L，匀速转动的角速度ω为$\sqrt{\frac{k△L+mgsinθ}{m（{L}_{0}+△L）co{s}^{2}θ}}$；
（2）小球离B点的距离为$\frac{2}{3}L$

点评 本题考查了牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，要明确小球做匀速转动时，靠合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大．