Question

3．如图所示，A，B是一对平行的间距足够大的金属板，在两板间加一周期为T的交变电压，若两板间距为d，电压U_BA随时间变化周期为T，在t=0时，电子由A板从静止开始向B板运动，并于t=2T时刻恰好到达B板．求：
（1）若电子t=$\frac{T}{6}$时刻才从A板开始运动，再经过2T时间，它将运动到离A板多远的地方？
（2）若电子t=$\frac{T}{6}$时刻才从A板开始运动，需要再经过多长时间才能到达B板？

Answer 1

分析 带电粒子在两板之间电压Uab按图所示规律变化的电场中受到电场力作用，从而做匀变速运动．当a板从静止开始向b板运动，并于t=nT（n为自然数）时刻，恰好到达b板．则当t=$\frac{T}{6}$时刻才开始从a板运动，那么经过同样长的时间，前一段时间是先匀加速后匀减速，后一段时间回头匀加速，所以两段时间内的位移之差即为粒子离开a板的距离．由此可知最后一个周期尚未结束就已碰到b板，则可由运动学公式算出碰b板后的时间，从而再减去这个时间

解答 （1）设带电粒子在匀强电场中的加速度为a，前半个周期为加速运动，后半个周期为减速运动，所以a、b间距离为：
d=4s=4×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$=$\frac{a{T}^{2}}{2}$…①
若粒子在t=$\frac{T}{6}$时刻开始从a板运动，该粒子向b 板运动的距离为：
x₁=4×$\frac{1}{2}a{（\frac{T}{3}）}^{2}=\frac{2a{T}^{2}}{9}$．
在电场力作用下返回a 板的距离为：
x₂=4×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{a{T}^{2}}{18}$，
该粒子向b板运动的位移为：
x=x₁-x₂=$\frac{a{T}^{2}}{6}$
所以①÷②得：x=$\frac{d}{3}$
（2）最后一个周期尚未结束就已经碰到b板，则该粒子除去最后一个周期运动时间t₁=（3n-1）T，最后一个周期中，粒子加速了 $\frac{T}{3}$，当减速的 $\frac{T}{3}$未完成就已和b板相碰，计算时仍可按粒子向b板运动了（ $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$）T的时间，再减去碰b板之后的时间，碰b板之后的时间可由粒子反向回b板的两段距离（即反向加速 $\frac{T}{6}$及减速的 $\frac{T}{6}$距离）和粒子过b板直到末速度为零时的匀减速的位移相等而求得，即：
2×$\frac{1}{2}a（\frac{T}{6}）^{2}$=$\frac{1}{2}$
解得：t₂=${t}^{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}T$
故粒子从a到b板的总时间为：t=t₁+t₂
得：t=5T+$\frac{2}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}$T=$\frac{17}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}T$
答：（1）若电子t=$\frac{T}{6}$时刻才从A板开始运动，再经过2T时间，它将运动到离A板距离为$\frac{d}{3}$
（2）若电子t=$\frac{T}{6}$时刻才从A板开始运动，需要再经过$\frac{17}{3}T-\frac{\sqrt{2}}{6}T$时间才能到达B板

点评 由于粒子不是在电场中一直处于加速或减速，所以导致分析运动较复杂．当然第2个问题也可以假设b板向下移动到最后一个周期末速度为零的位置，这算出整段时间，再去移动距离的时间