Question

12．如图所示，间距为L的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向里、大小为B的匀强磁场．在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为m的金属棒ab与导轨始终保持良好接触，由静止开始释放，释放时ab 距地面高度为h，（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（　　）

• A． 若h足够大，金属棒最终匀速下落
• B． 金属棒运动到地面时，电容器储存的电荷量为mgh
• C． 金属棒做匀加速运动，加速度为$\frac{mg}{mg+{C}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$
• D． 金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为$\frac{mghC{B}^{2}{L}^{2}}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$

Answer 1

分析 由左手定则来确定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于I=$\frac{△Q}{△t}$、a=$\frac{△v}{△t}$及牛顿第二定律来求出加速度的表达式，分析金属棒的运动情况．金属棒的重力势能转化为金属棒的动能与电容器中的电势能．

解答 解：A、设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，产生的电动势为：e=BLv
金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为：F=BLi
设在时间间隔（t，t+△t ）内流经金属棒的电荷量为△Q，则△Q=C△U=C•△e
按电流的定义有：i=$\frac{△Q}{△t}$，△Q也是平行板电容器极板在时间间隔△t内增加的电荷量，
在△t内金属棒的速度变化量为△v，由加速度的定义有：a=$\frac{△v}{△t}$
金属棒在时刻t的加速度方向向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有：mg-F=ma
联立上此式可得：a=$\frac{mg}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$．则知加速度a为定值，金属棒做匀加速运动，且加速度为 $\frac{mg}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$．故A、C错误；
B、金属棒下降h后的速度为 v₀=$\sqrt{2ah}$
电容器板间电压 U=BLv₀=BL$\sqrt{2ah}$
电容器储存的电荷量为 Q=CU=CBL$\sqrt{2ah}$=CBL$\sqrt{\frac{2mgh}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}}$，故B错误．
D、金属棒运动到地面时，金属棒的动能：E_K=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mah
金属棒的重力势能转化为金属棒的动能与电容器中的电势能，所以金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能：
  E_P=mgh-E_K=$\frac{mghC{B}^{2}{L}^{2}}{m+C{B}^{2}{L}^{2}}$．故D正确．
故选：D

点评 本题关键采用微元法分析金属棒的加速度，切入点是加速度的定义式，再应用牛顿第二定律、匀变速运动的速度公式、E=BLv即可正确解题．