题目内容

7．如图所示，光滑水平杆PQ固定在光滑水平地面MN正上方，小球A、B穿套在杆上，小球B、C间的轻质橡皮筋恰好处于竖直、无弹力状态．开始时，小球均静止，现给予小球A一瞬时冲量I让A获得水平向右的速度，与B发生碰撞后合为一个整体但不粘连，此后运动过程中小球C始终都没有离开地面．已知A、B、C的质量分别为m、2m、3m，橡皮筋没有超出弹性限度，PQ、MN足够长．求：
（1）A、B碰撞后的速度大小；
（2）在橡皮筋第一次伸长的过程中，最大的弹性势能；
（3）B开始运动后，最大的速度大小．

分析 （1）对A，瞬时冲量I作用过程，由动量定理求出A获得的速度．对于AB碰撞过程，由动量守恒定律求碰撞后的速度大小．
（2）此后AB在橡皮筯弹力作用下减速，C在橡皮筯弹力作用下加速，到共同速度时橡皮筯达到第一次伸长过程的最大值，弹性势能最大．根据系统的动量守恒和机械能守恒列式求解．
（3）橡皮筯在第一次恢复时，AB质量与C质量相等，交换速度，此时AB速度为0，C速度为AB碰撞后的速度大小．此后C向右运动伸橡皮筯使得AB分离，A最终处于静止状态，而橡皮筯的弹力使得B加速，直至橡皮筯再次达到原长时B加速到最大速度．由动量守恒和机械能守恒求解．

解答 解：（1）对A，由动量定理得：I=mv…①
设AB碰撞后的速度为v1．取向右为正方向，由动量守恒得：mv=3mv1…②
由①②解得：v1=$\frac{I}{3m}$
（2）此后AB在橡皮筯弹力作用下减速，C在橡皮筯弹力作用下加速，到共速时橡皮筯达到第一次伸长过程的最大值，弹性势能最大．设ABC的速度为v2．根据系统的动量守恒和机械能守恒得：
 3mv1=6mv2…③
 $\frac{1}{2}•$m${v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•6m{v}_{2}^{2}$+Ep…④
解得：Ep=$\frac{{I}^{2}}{12m}$
（3）橡皮筯在第一次恢复时，AB质量与C质量相等，交换速度，此时AB速度为0，C速度为AB碰撞后的速度大小：v1=$\frac{I}{3m}$．
此后C向右运动伸橡皮筯使得AB分离，A最终处于静止状态，而橡皮筯的弹力使得B加速，直至橡皮筯再次达到原长时B加速到最大速度v3，此时C的速度为v4，从分离到B最大速度v3的过程，由动量守恒和机械能守恒得：
  3mv1=2mv3+3mv4…⑤
  $\frac{1}{2}•3m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•2m{v}_{3}^{2}$+$\frac{1}{2}•3m{v}_{4}^{2}$…⑥
由⑤⑥得：v3=$\frac{2I}{5m}$
答：（1）A、B碰撞后的速度大小为$\frac{I}{3m}$；
（2）在橡皮筋第一次伸长的过程中，最大的弹性势能为$\frac{{I}^{2}}{12m}$；
（3）B开始运动后，最大的速度大小为$\frac{2I}{5m}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律，能量守恒定律的应用，解题的关键是分析小球的运动情况，知道什么时候弹性势能最大，过程较为复杂．

练习册系列答案
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