Question

如图8所示，半径分别为R、r（R＞r）的甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑.为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段的长度.

图8

提示：小球滑上乙轨道而不撞轨，小球可以通过乙轨道的最高点；可以使小球到乙轨圆心等高处之前再返回.

Answer 1

解析：（1）小球在甲轨道上做圆周运动，通过最高点的最小速度为v_min=，设小球能通过甲轨道最高点时速度为v₁.

由机械能守恒定律得：mg·3R=mg·2R+mv₁²

v₁=  因为v₁=＞，

所以小球能通过甲轨道而不撞轨.

（2）设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为v₂=

小球要通过乙轨道最高点，则需满足：mg·（3R-2r）-μmgx≥mv₂²得：x≤

小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：

mg·（3R-r）-μmgx≤0

且mg·3R-μmgx＞0得：≤x＜

总结论：CD≤或≤CD＜.

答案：CD≤或≤CD＜