Question

6．一艘宇宙飞船绕一个不知名的半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T，万有引力常量为G．求：
（1）该行星的质量
（2）该行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）研究“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．
（2）根据引力提供向心力，即可求解第一宇宙速度．

解答 解：（1）设宇宙飞船质量为m，宇宙飞船所受的万有引力提供了其做圆周运动的向心力，即
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}mR}{{T}^{2}}$…①
故该行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）该宇宙飞船贴着该行星表面飞行，其环绕速度为该行星的第一宇宙速度v．宇宙飞船所受的万有引力提供了其做圆周运动的向心力，即
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…②
故该行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
答：（1）该行星的质量$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）该行星的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．
在行星表面运动，轨道半径可以认为就是行星的半径．