Question

4．中国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭发射升空后，国人对探月工程有了更多的关注．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）根据月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于万有引力列式求解；
（2）先根据竖直上抛运动的知识求出月球表面的重力加速度，再根据月球表面重力等于万有引力列式求解．

解答 解：（1）根据万有引力定律和向心力公式得：
G$\frac{M{M}_{月}}{R{′}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²R′
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得R′=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，根据题意得：
v₀=$\frac{{g}_{月}t}{2}$，
g_月=$\frac{G{M}_{月}}{{r}^{2}}$
解得：M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的质量M_月为$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

点评 本题关键是要抓住星球表面处物体的重力等于万有引力，求得重力加速度，以及卫星所受的万有引力提供向心力进行列式求解．