Question

（1）在游乐场中有一种旋转飞椅，如图所示，在半径为r的平台边缘固定着长为L的绳子，另一端则是由小朋友乘坐的椅子，若绳子与竖直方向夹角为θ，当平台绕其中心轴旋转时，问：
①若小朋友和椅子的质量共为m，则绳子的拉力为多大？
②该平台的旋转的角速度是多大？
（2）（地球质量为M，半径为r，万有引力常量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．
①试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据．
②若已知第一宇宙速度的大小为v=7.9km/s，地球半径r=6.4×10⁶m，万有引力恒量G=6.67×10^-11 N?m²/kg²，求地球质量（结果要求二位有效数字）．

Answer 1

分析：（1）由小朋友乘坐的椅子做匀速圆周运动，由重力和绳子的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律，运用正交分解法求解绳子的拉力和角速度．
（2）在地球表面附近的人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出第一宇宙速度．由第一宇宙速度的计算式形变，求解地球的质量．

解答：解：（1）对人和椅子整体受力分析如图，在竖直方向
竖直方向有：Tcosθ=mg  得T=

mg

cosθ

水平方向：由向心力公式有
   mgtanθ=mω²（r+Lsinθ）
得：ω=

gtanθ r+Lsinθ

（2）在地球表面附近的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有
  G

Mm

r2

=m

v2

r

，解得   v=

GM r

（2）由上式得    M=

v2r

G

代入数据解得   M=6.0×10²⁴kg
答：
（1）①若小朋友和椅子的质量共为m，绳子的拉力为

mg

cosθ

．②该平台的旋转的角速度是ω=

gtanθ r+Lsinθ

．
（2）①第一宇宙速度的计算式为v=

GM r

．②地球质量为6.0×10²⁴kg．

点评：本题旋转飞椅和卫星都做匀速圆周运动，分析受力情况，确定向心力的来源是关键．