题目内容

【题目】轻质弹簧原长为2l,将弹簧竖直放置在地面上,在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开P开始沿轨道运动,重力加速度大小为g。

(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离;

(2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。

【答案】(1) 2l (2)

【解析】

试题分析:(1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l时,质量为5m的物体的动能为零,其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知,弹簧长度为l时的弹性势能为

Ep=5mgl

设P到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得

EpmvB2+μmg(5l-l)

联立①②式,并代入题给数据得

若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不能小于重力,即P此时的速度大小v应满足

设P滑到D点时的速度为vD,由机械能守恒定律得

mvB2mvD2+mg·2l

联立③⑤式得

vD满足式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t,由运动学公式得

2l=gt2

P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt

联立⑥⑦⑧式得

s=2l

(2)设P的质量为M,为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知

5mgl>μMg·4l

要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有

MvB2≤Mgl

EpMvB2+μMg·4l

联立①⑩式得

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