Question

如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L＝3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r＝1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为q＝37°。现有一质量为m＝1kg的小球穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿AB向上运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失。（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？

（2）若以题（1）中求得的最小初动能E_K0从B点向上运动，求小球第二次到达D点时的动能；

（3）若以题（1）中求得的最小初动能E_K0从B点向上运动，求小球在CD段上运动的总路程。

Answer 1

解析：（1）要使小球能够向上运动并回到B点，有两个临界条件的要求：一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点，二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点。所以：

若要使小球能够通过圆弧APD的最高点，因为小球是穿在杆上，所以到达最高点时速度可以为0.由能量守恒得： 

              

（即小球在B点的初动=小球增加的重力势能+因摩擦而发的热）

假若仅使小球恰好到达B点，即到达B点时速度恰好为0，则由能量守恒：

      

所以，要使小球能再次回到B点，至少需要的初动能。

（2）当小球在B点以向上运动，再次回到B点时，小球的动能，由动能定理：

，所以：

 

假设小球经过B点后，还能沿AB上升，由动能定理：

解得： 

在AB杆上，由于，所以小球将再次下滑，在AB杆上因摩擦而发的热：

当小球第二次回到D点时，由能量守恒得：

        

所以： 

（3）小球到达D点后，将沿光滑的圆弧面APB上升，但到不了最高点，将再次滑回D点，且。

假若要使小球还能够返回B点，则要求在D点时具有的动能为：

；   

所以小球将无法再次回B点，而只能在光滑圆弧APD和BQC及DC间作来回往复的运动，最终小球将停在DC上，此时小滑在DC上滑过的总路程为，

由得：     

   

所以  

解析:

略