Question

13．荡秋千是大家喜爱的一项体育运动．随着科技迅速发展，将来的某一天，同学们也会在其他星球上享受荡秋千的乐趣．假设你当时所在星球的质量为M，半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，引力常量为G．那么：
（1）该星球表面附近时重力加速度g_星等于多少？
（2）若经过最低位置的速度为v₀，你对秋千的压力是多少？

Answer 1

分析 （1）根据重力等于万有引力列式求解；
（2）根据重力和支持力的合力提供圆周运动向心力列式求解．

解答 解：（1）据在星球表面附近的重力等于万有引力，有：
$m{g}_{星}=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
该星球的表面附近的重力加速度${g}_{星}=G\frac{M}{{R}^{2}}$
（2）人荡到秋千最低点时，秋千对人的支持力和人的重力的合力提供圆周运动向心力有：
$N-m{g}_{星}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
所以秋千对人的支持力$N=m{g}_{星}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$=$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
根据牛顿第三定律知，人对秋千板的压力为$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．
答：（1）该星球表面附近时重力加速度g_星等于$G\frac{M}{{R}^{2}}$；
（2）若经过最低位置的速度为v₀，你对秋千的压力是$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．

点评 在星球表面重力等于万有引力，在竖直平面内做圆周运动，合力提供圆周运动向心力，注意求的是人对秋千板的压力，要适当交代．