Question

（18分）两根足够长的光滑金属导轨平行固定在倾角为θ的斜面上，它们的间距为d．磁感应强度为B的匀强磁场充满整个空间、方向垂直于斜面向上．两根金属杆ab、cd的质量分别为m和2m，垂直于导轨水平放置在导轨上，如图所示．设杆和导轨形成的回路总电阻为R而且保持不变，重力加速度为g．

（1）给ab杆一个方向沿斜面向上的初速度，同时对ab杆施加一平行于导轨方向的恒定拉力，结果cd杆恰好保持静止而ab杆则保持匀速运动．求拉力做功的功率．
（2）若作用在ab杆的拉力与第（1）问相同，但两根杆都是同时从静止开始运动，求两根杆达到稳定状态时的速度．

Answer 1

（1）   （2）     方向沿斜面向下

试题分析：（1）cd杆保持静止，则杆所受安培力   ① （2分）
设ab杆所受的拉力为F，则对ab杆，有    ②（2分）
设ab杆的速度为v₀，则回路中的感应电流   ③（2分）
拉力做功的功率   ④（1分）
联立解得拉力做功的功率   ⑤（2分）
（2）开始时ab杆所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上运动，而cd杆所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下运动，随着速度的增大，安培力也逐渐增大，最后两杆同时达到匀速运动状态。
设ab杆和cd杆最后的速度大小分别为v₁、v₂，因为两杆组成的系统所受的外力合力为零，
因此系统动量守恒，取沿斜面向上为正方向，
则    ⑥（2分）
cd杆匀速运动，则杆所受安培力     ⑦（1分）
回路中的电流   ⑧（2分）
联立解得ab杆和cd杆达到稳定状态时的速度分别为
（方向沿斜面向上）    ⑨（2分,）
（方向沿斜面向下）  ⑩（2分）