Question

如图所示，某同学仿照“过山车”轨道为一个质量m=0.1kg小滑块设计了轨道．AB为一较长的斜面轨道，与小滑块间的动摩擦因数?=0.2，其它轨道光滑．AB轨道与水平轨道BC成θ=45°，且与BC平滑连接（不计通过B点时的动能损失）．小滑块从AB轨道高H=1m处由静止滑下，滑入轨道BC，后从C点进入半径R=0.2m 圆形轨道内侧，转动一周后从C点滑出，再沿水平轨道CE继续运动，最后从E点飞出，落入水平轨道下方h=0.2m的浅槽FG中，浅槽的高度不计，长度L=1.0m． g取10m/s²，小滑块在运动过程中可视为质点．



（1）小滑块到达斜面底端B时速度大小
（2）小滑块到达圆轨道最高点D时对轨道的压力大小
（3）若要小滑块按设计要求完成全部运动，该同学无初速释放小滑块的初始高度应
满足怎样的条件？

Answer 1

（1）小球从A到B的过程中，由动能定理可得
mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2
得  V_B=4m/s 
（2）小球到D时，从释放点到D点由动能定理可得：
mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2
在最高点，轨道对球向下的支持力为N，有
N+mg=

mvD2

R

得  N=3N 
由牛顿第三定律知，滑块经D点时对轨道的压力大小为N′=3N
（3）设小球恰可以到达圆轨道的最高点，对应的高度为H₁，
由圆周运动的规律可知，最高点时的速度v_D2
vD2=

gR

mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22
得H₁=0.625m
设小球恰可以到达槽右端，对应的高度为H₂
因为t=

2h g

所以vE=

L

t

=

L

2h g

小球从A到E的过程中，由动能定理：
mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2
得：H2=

25

16

m=1.5625m
故释放小球的高度范围为：
0.625m≤H≤1.5625m．
答：（1）小滑块到达斜面底端B时速度大小为4m/s．
（2）小滑块到达圆轨道最高点D时对轨道的压力大小为3N．
（3）若要小滑块按设计要求完成全部运动，该同学无初速释放小滑块的初始高度H范围为：0.625m≤H≤1.5625m．