Question

如图所示，某同学仿照“过山车”轨道为一个质量m=0.1kg小滑块设计了轨道．AB为一较长的斜面轨道，与小滑块间的动摩擦因数?=0.2，其它轨道光滑．AB轨道与水平轨道BC成θ=45°，且与BC平滑连接（不计通过B点时的动能损失）．小滑块从AB轨道高H=1m处由静止滑下，滑入轨道BC，后从C点进入半径R=0.2m 圆形轨道内侧，转动一周后从C点滑出，再沿水平轨道CE继续运动，最后从E点飞出，落入水平轨道下方h=0.2m的浅槽FG中，浅槽的高度不计，长度L=1.0m． g取10m/s²，小滑块在运动过程中可视为质点．

（1）小滑块到达斜面底端B时速度大小
（2）小滑块到达圆轨道最高点D时对轨道的压力大小
（3）若要小滑块按设计要求完成全部运动，该同学无初速释放小滑块的初始高度应
满足怎样的条件？

Answer 1

分析：（1）小球从A到B的过程中，运用动能定理可得mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2，可计算出小滑块到达斜面底端B时速度大小V_B．
（2）小球到D时，从释放点到D点由动能定理可得：mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2．
在最高点，轨道对球向下的支持力为N，有N+mg=

mvD2

R

．联立二式可解得N．再由牛顿第三定律知，滑块经D点时对轨道的压力大小为N′=N．
（3）小球恰可以到达圆轨道的最高点，对应的高度为H₁，由圆周运动的规律可知，最高点时的速度vD2=

gR

．根据动能定理mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22．可解得最小高度H₁．小球恰可以到达槽右端，对应的高度为H₂，根据平抛运动t=

2h g

，所以vE=

L

t

．小球从A到E的过程中，由动能定理：mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2，可解得最大高度H₂．释放小球的高度范围为：H₁≤H≤H₂．

解答：解：（1）小球从A到B的过程中，由动能定理可得
mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2
得  V_B=4m/s 
（2）小球到D时，从释放点到D点由动能定理可得：
mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2
在最高点，轨道对球向下的支持力为N，有
N+mg=

mvD2

R

得  N=3N 
由牛顿第三定律知，滑块经D点时对轨道的压力大小为N′=3N
（3）设小球恰可以到达圆轨道的最高点，对应的高度为H₁，
由圆周运动的规律可知，最高点时的速度v_D2
vD2=

gR

mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22
得H₁=0.625m
设小球恰可以到达槽右端，对应的高度为H₂
因为t=

2h g

所以vE=

L

t

=

L

2h g

小球从A到E的过程中，由动能定理：
mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2
得：H2=

25

16

m=1.5625m
故释放小球的高度范围为：
0.625m≤H≤1.5625m．
答：（1）小滑块到达斜面底端B时速度大小为4m/s．
（2）小滑块到达圆轨道最高点D时对轨道的压力大小为3N．
（3）若要小滑块按设计要求完成全部运动，该同学无初速释放小滑块的初始高度H范围为：0.625m≤H≤1.5625m．

点评：选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．