Question

7．如图所示，水平轨道AB段粗糙，长为L=0.2m，BC和半圆轨道均可视为光滑，在左端竖直墙上固定一轻质弹簧，有一可视为质点的小球，小球质量m=1kg，与轨道间动摩擦因数μ=0.6，现将小球压缩轻质弹簧至A点后由静止释放 （小球和弹簧不粘连），发现小球刚好能沿半圆轨道内侧滑下，C点为轨道的最高点，D点为轨道的最低点．小物块离开D点后，做平抛运动，恰好垂直于倾斜挡板打在挡板跟水平面相交的E点．已知半圆轨道的半径R=0.9m，D点距水平面的高度h=0.75m，取g=10m/s²，试求：
（1）压缩的弹簧所具有的弹性势能；
（2）小物块经过D点时对轨道压力的大小；
（3）倾斜挡板与水平面间的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求的C点速度，从A到C由动能定理即可求得；
（2）从C到D由动能定理求的D点速度，根据牛顿第二定律即可求得作用力；
（3）从D点做平抛运动，利用运动学公式即可求得

解答 解：（1）设小物块经过C点时的速度大小v₁，因为经过C时恰好能完成圆周运动，
由牛顿第二定律可得：$mg=m\frac{v_1^2}{R}$，
解得v₁=3m/s
小物块由A到C过程，由能量守恒得：Ep=μmgL+$\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得压缩的弹簧所具有的弹性势能Ep=5.7J         
（2）设小物块经过D点时的速度为v₂，对由C点到D点的过程，
由动能定理得：$mg•2R=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
小物块经过D点时，设轨道对它的支持力大小为F_N，
由牛顿第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v_2^2}{R}$
联立解得F_N=60N，${v_2}=3\sqrt{5}m/s$
由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力大小为：F′_N=F_N=60N
故小物块经过D点时对轨道的压力大小为60N；
（3）小物块离开D点做平抛运动，设经时间t打在E点，由$h=\frac{1}{2}g{t^2}$得：$t=\frac{{\sqrt{15}}}{10}s$
设小物块打在E点时速度的水平、竖直分量分别为v_x、v_y，速度跟竖直方向的夹角为α，
则：v_x=v₂、v_y=gt
  又$tanα=\frac{v_x}{v_y}=\sqrt{3}$
联立解得α=60°
再由几何关系可得θ=α=60°    
故倾斜挡板与水平面的夹角为θ为60°．
答：（1）压缩的弹簧所具有的弹性势能为5.7J         
（2）小物块经过D点时对轨道压力的大小为60N；
（3）倾斜挡板与水平面间的夹角θ为60°．

点评 本题考查了多过程运用问题，关键理清物块在整个过程中的运动规律，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合动能定理和能量守恒进行求解．