题目内容
3．假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心为银心，距离银心相等处的银河质量分布相同．又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同．已知地球到太阳中心的距离R0，太阳到银心的距离a=1.75×108年，太阳质量为Ms，银河系中发光的物质仅分布在r≤1.5a的范围内．目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且a≤r≤6a范围内，物体绕银心运动的速度是一恒量．按上述条件解答：（1）论证银河系物质能否均匀分布；
（2）计算银河系中发光的物质质量最多有多少；
（3）计算整个银河系物质质量至少有多少；
（4）计算银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少有多少．（上述计算结果均用太阳质量Ms表示）
分析 （1）用假设法来判定质量能否均匀分布，依据万有引力提供向心力的速度表达式，通过计算，验证假设结果与实际观测结果是否一致，从而得出结论
（2、3、4）依据万有引力提供向心力的速度表达式，结合周期公式，推导出来银河系发光物质的质量和总质量，总质量减去发光物质的质量即为暗物质的质量．
解答 解：
（1）假定银河系物质集中分布在r≤1.5a的范围内，设其质量为M，则在1.5a≤r≤6a范围内，质量为m的物质在银河系物质作用下做圆周运动时，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
即银河系物体的速率v与$\sqrt{\frac{1}{r}}$成正比，与观察结果不一致．
假定银河系物质集中分布在r≤6a的范围内，设银河系物质的密度为ρ，则质量为m的物体在此范围内绕银心圆周运动时有：
$G\frac{ρ\frac{4π{r}^{3}}{3}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{4}{3}πρG}•r$，
即银河系物体的速率v与r成正比，与观察结果也不一致，由以上分析可知，银河系物质在r≤6a的范围内，不是均匀分布的，发亮物质仅仅分布在r≤1.5a的范围内，在1.5a≤r≤6a范围内是不发光物质，即所谓的暗物质，当然也不排斥在r≤1.5a的范围内存在暗物质．
（2、3、4）根据太阳绕银心的运动周期T和太阳到银心的距离rs=a，可求出半径为a的球面内银河系物质的质量Ma，以Ms表示太阳质量，vs表示太阳速度，则有：
$G\frac{MaMs}{{a}^{2}}=Ms\frac{{{v}_{s}}^{2}}{a}$，
而：
${v}_{s}=\frac{2πa}{T}$，
由此得：
$Ma=\frac{4{π}^{2}{a}^{3}}{G{T}^{2}}$，
当质量为m的物体绕银心做半径为r的圆周运动时，有：
$G\frac{{M}_{r}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
若a≤r≤6a，根据观察结果：v=vs，
由以上各式得：
$Ma=Ms（\frac{a}{{R}_{0}}）^{3}{（\frac{{T}_{0}}{T}）}^{2}$，
代入数据解得：
$Ma=（1.75×1{0}^{9}）^{3}×（\frac{1}{2.4×1{0}^{8}}）^{2}Ms$=9.3×1010Ms，
可知银河系中发光物质的质量上限是：
$M（1.5a）=\frac{Ma}{a}×1.5a=1.4×1{0}^{11}Ms$，
银河系的物质下限是：
$M（6a）=\frac{Ma}{a}×6a=5.6×1{0}^{11}Ms$，
不发光物质的下限为：
M（暗）=M（6a）-M（1.5a）=4.2×1011Ms．
答：
（1）银河系物质不能均匀分布；
（2）银河系中发光的物质质量最多有1.4×1011Ms；
（3）整个银河系物质质量至少5.6×1011Ms；
（4）银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少4.2×1011Ms．
点评 该题的关键是建立物理模型，该情形不是针对的两个固定天体研究，而是针对整个银河系，但是其基本原理是与两个天体的情形已知的，规律相同，故可利用万有引力表达式来求解．另外该题在判定物质是否均匀分布上，使用的是假设法，此方法一般用来判定不确定状态的．
一线名师权威作业本系列答案
一只氖管的起辉电压与交流电压U=50sin314t（V）的有效值相等，若将此交流点接到上述氖管的两极，求氖管每次发光持续的时间△t及1s时间里发光的次数n．
一质量为m、电阻为r的金属杆ab，以一定的初速度v0从一光滑平行金属导轨底端向上滑行，导轨平面与水平面成30°角，两导轨上端用一电阻R相连，如图所示，磁场垂直斜面向上，导轨的电阻不计，金属杆始终与导轨接触良好，金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为v，则金属杆在滑行过程中（ ）| A． | 向上滑行与向下滑行的时间相等 | |
| B． | 向上滑行与向下滑行时电阻R上产生的热量相等 | |
| C． | 向上滑行与向下滑行时通过金属杆的电荷量相等 | |
| D． | 向上滑行与向下滑行时金属杆克服安培力做的功相等 |
如图所示，斜面体置于粗糙水平面上，斜面光滑．小球被轻质细线系住放在斜面上，细线另一端跨过定滑轮，用力拉细线使小球沿斜面缓慢向上移动一小段距离，斜面体始终静止．移动过程中（ ）| A． | 细线对小球的拉力变大 | B． | 斜面对小球的支持力变大 | ||
| C． | 斜面对地面的压力变大 | D． | 地面对斜面的摩擦力变小 |
如图所示，一两头开口的圆柱形容器竖立在水平面上，上部圆筒较细，下部圆筒较粗且足够长．容器下部圆筒中有一可沿圆筒无摩擦移动的活塞S，用细绳通过测力计F将活塞提着，容器中盛有一定量的水．现提着活塞的同时使活塞缓慢地下移．在这一过程中，测力计的读数（ ）| A． | 一直保持不变 | B． | 先变小，然后保持不变 | ||
| C． | 先变大，然后保持不变 | D． | 先变小，然后变大 |
| A． | 周期为$\frac{4{t}_{0}}{7}$ | |
| B． | 波速为$\frac{8L}{{t}_{0}}$ | |
| C． | t0时刻5号质点向下运动 | |
| D． | 在t0这段时间内波传播的距离为10L |
如图所示，高压锅的锅盖通过几个牙齿似的锅齿镶嵌旋紧，锅盖与锅之间有橡皮制的密封圈，不会漏气，锅盖上有一排气孔，上面套类似砝码的限压阀，将排气孔堵住．当加热高压锅，锅内气体压强增大到一定程度时，气体就把限压阀顶起来，蒸汽即从排气孔排出锅外．已知某高压锅的限压阀的质量为0.1kg，排气孔直径为0.3cm，则锅内气体的压强最大可达多少？设压强每增加2.7cmHg，水的沸点相应增加1℃，则锅内的最高温度可达多高？| A． | 离地面高度R处为4mg | B． | 离地面高度R处为$\frac{mg}{2}$ | ||
| C． | 离地面高度2R处为$\frac{mg}{9}$ | D． | 离地面高度2R处为$\frac{mg}{4}$ |