Question

17．河宽d=60m，水流速度v₁=3m/s，小船在静水中的速度v₂=6m/s，问：
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？实际位移多大？
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？此时渡河时间？

Answer 1

分析 因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当静水速的方向与河岸垂直，渡河时间最短．

解答 解：（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则知：
t_min=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{60}{6}$s=10s
依据矢量的合成法则，则实际位移为：
x=$\sqrt{{d}^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+（3×10）^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+3{0}^{2}}$=30$\sqrt{5}$m；
（2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，设与河岸的夹角为θ，
则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{6}$，
这时船头与河水速度夹角为：θ=60°；
最短的航程是60m．
此时渡河时间为：t=$\frac{20}{3}\sqrt{3}$s
答：（1）要使它渡河的时间最短，则小船应以静水中的速度垂直河岸过河，最短时间是10s；实际位移30$\sqrt{5}$m；
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应偏向上游，与河岸的夹角为60°，最短的航程即为河宽60m，此时渡河时间$\frac{20}{3}\sqrt{3}$s．

点评 解决本题的关键知道当静水速与河岸垂直时，渡河时间最短，当静水速大于水流速，合速度与河岸垂直，渡河航程最短，当静水速小于水流速，合速度与静水速垂直，渡河航程最短．