题目内容
如图所示，真空中xOy光滑绝缘水平面内，在坐标点M（L，0）固定一个点电荷-Q，坐标点N（4L，0）固定一个点电荷+2Q，以O点为圆心，半径为2L的圆与坐标轴的交点分别为A、B、C、D．已知若取无穷远处电势为零，则离点电荷Q距离为r处的电势为φ=k| Q | r |
（1）猜测圆上任意一点的场强方向的特征，并加以证明
（2）用长为2L的绝缘细线系一质量为m、电量为+q带电球，另外一端系在O点，要使小球能在细线拉力作用下做圆周运动，求其在D点的最小速度．
分析：（1）可猜测圆上任意一点的场强方向指向圆心，只要证明圆O是一个等势面，即可得证．可在圆上取任意一点P（2Lcosθ，2Lsinθ），根据题中信息φ=k
，求出两个点电荷在P点的电势φPM和φPN，再得到P点电势和为φP=φPM+φPN，即可证明猜测是否正确．
（2）球在水平面和等势面上运动，重力和电场力均不做功，将做匀速圆周运动，向心力由绳子拉力和电场力的合力提供．圆周上B点的场强最大，D点的场强最小，则小球经过B点时绳的拉力F最小，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解．
| Q |
| r |
（2）球在水平面和等势面上运动，重力和电场力均不做功，将做匀速圆周运动，向心力由绳子拉力和电场力的合力提供．圆周上B点的场强最大，D点的场强最小，则小球经过B点时绳的拉力F最小，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解．
解答：
解：（1）圆上任意一点的场强方向指向圆心．
证明：如图在圆上任意一点P（2Lcosθ，2Lsinθ）
依照题意，点电荷M在P点的电势为：?PM=-k
点电荷N在P点的电势为：?PN=k
根据两点距离公式：MP=
NP=
则P点电势和为：φP=φPM+φPN
解得：φP=0
即圆上各点电势相同，且为零．根据电场线与等势面垂直，可知圆上任意一点的场强方向直线圆心O．
（2）小球在水平面和等势面上运动，重力和电场力均不做功，将做匀速圆周运动，向心力由绳子拉力和电场力的合力提供．圆周上B点的场强最大，D点的场强最小，则小球经过B点时绳的拉力F最小，
当F=0时，对应的速度vB即为小球能做圆周运动的最小速度．
小球在B点时，若绳子拉力为零，则小球向心力最小，出现最小速度v．
B处的电场强度为：E=k
+k
=k
+k
=k
由向心力公式：Eq=m
解得：vD=
=
答：（1）圆上任意一点的场强方向指向圆心． 证明见上．
（2）其在D点的最小速度为
．
解：（1）圆上任意一点的场强方向指向圆心． 证明：如图在圆上任意一点P（2Lcosθ，2Lsinθ）
依照题意，点电荷M在P点的电势为：?PM=-k
| Q |
| MP |
点电荷N在P点的电势为：?PN=k
| 2Q |
| PN |
根据两点距离公式：MP=
| (2Lcosθ-L)2+(2Lsinθ-0)2 |
| (2Lcosθ-4L)2+(2Lsinθ-0)2 |
则P点电势和为：φP=φPM+φPN
解得：φP=0
即圆上各点电势相同，且为零．根据电场线与等势面垂直，可知圆上任意一点的场强方向直线圆心O．
（2）小球在水平面和等势面上运动，重力和电场力均不做功，将做匀速圆周运动，向心力由绳子拉力和电场力的合力提供．圆周上B点的场强最大，D点的场强最小，则小球经过B点时绳的拉力F最小，
当F=0时，对应的速度vB即为小球能做圆周运动的最小速度．
小球在B点时，若绳子拉力为零，则小球向心力最小，出现最小速度v．
B处的电场强度为：E=k
| Q |
| MB2 |
| 2Q |
| NB2 |
| Q |
| L2 |
| 2Q |
| 4L2 |
| 3Q |
| 2L2 |
由向心力公式：Eq=m
| v | 2 |
解得：vD=
|
|
答：（1）圆上任意一点的场强方向指向圆心． 证明见上．
（2）其在D点的最小速度为
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点评：本题是信息给予题，要以电场强度方向与等势面垂直的特点为证明的突破口，来证明自己的猜测．
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