Question

2．如图所示（a）所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，间距为L=0.2m，N、Q两端间接有电阻R₀=0.2Ω，导体棒ef垂直放置在导轨上，接触良好．导轨间等腰直角三角形区域abc内有方向竖直向下的匀强磁场，ab垂直于导轨，且a在MN上，b在PQ上．导体棒和导轨的电阻不计．
从t=0开始，三角形区域内磁场的磁感应强度B的大小随时间t变化规律如图（b）所示，同一时刻，导体棒以速度v₀=0.2m/s从左向右匀速运动，4s后刚好进入磁场，进入磁场后导体棒在外力F作用下保持速度大小不变做直线运动．求：

（1）导体棒进入磁场前，电阻R₀产生的热量；
（2）导体棒通过三角形区域abc过程中，外力F的最大值及导体棒中的电动势e与时间t的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势，根据欧姆定律求解电流强度，根据焦耳定律计算产生的焦耳热；
（2）根据E=BLv求解电动势，根据安培力的计算公式和共点力的平衡条件求解外力F的最大值；求出在时间t时切割磁感线的长度，根据e=B₀lv₀解得电动势e与时间t的关系．

解答 解：（1）导体棒进入磁场前，闭合回路efR₀中感应电动势恒定，设为E₁，电流为I₁，有感应电流的时间t₁=2s，三角形区域的面积为S，电阻R₀产生的热量为Q₁，则
面积S=$\frac{1}{2}L•\frac{1}{2}L=\frac{1}{4}{L}^{2}$=0.01m²，
根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势：E₁=$\frac{△B}{△t}•S$=0.001V，
感应电流：I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{0}}$=0.005A；                             
根据焦耳定律可得：Q₁=${I}_{1}^{2}{R}_{0}{t}_{1}$
解得：Q₁=1.0×10^-5J；
（2）t₀=4s，导体棒进入磁场，当到达位置ab时，设电动势为E₂，电流为I₂，安培力最大为F₂，外力F的最大值为F_m，则
E₂=B₀Lv₀=8×10^-3V，
电流：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{0}}=0.04A$，
最大安培力F₂=B₀I₂L=1.6×10^-3N，
外力F的最大值为F_m=F₂，
则F₂=F_m=1.6×10^-3N；
设导体棒通过三角形区域abc区域的时间为t₀，设在时间t，切割磁感线的长度为l，则t₀=$\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{0}}$=0.5s
l=2v₀（t-4）（4s≤t≤4.5s）      
则e=B₀lv₀，
解得电动势e与时间t的关系式为：e=0.016t-0.064 V （4s≤t≤4.5s）．
答：（1）导体棒进入磁场前，电阻R₀产生的热量为1.0×10^-5J；
（2）导体棒通过三角形区域abc过程中，外力F的最大值为1.6×10^-3N；导体棒中的电动势e与时间t的关系式为e=0.016t-0.064 V （4s≤t≤4.5s）．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．