Question

19．如图所示，在光滑的水平面上有一块质量m=1kg的长木板，木板上相距L=1.2m处各放一个质量m=1kg的小木块A和B（这两个小木块可当做质点），现分别给A木块向右的速度v₁=5m/s，B木块向左的速度v₂=2m/s，两木块沿同一直线相向运动，两木块与 木板间的动摩擦因数μ=0.50，两木块相遇时做弹性碰撞（碰撞时间极短，且相互交换速度）．g=10m/s²，求：
（1）如果A、B始终在木板上，两木块间的最大距离；
（2）要使A、B始终在木板上，木板的长度至少要多长？

Answer 1

分析 （1）两木块从开始到最终相对木板静止的过程中，A、B、C组成的系统合外力为零，遵守动量守恒定律．由动量守恒定律求得最终三者的共同速度．再由能量守恒定律求两木块间的最大距离．
（2）两木块相遇前，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出A向右运动的位移，并用同样的思路求出A、B相碰后A向左的速度减小到零时的位移，结合几何关系求木板的长度．

解答 解：（1）两木块从开始到最终相对木板静止的过程中，A、B、C组成的系统动量守恒．取向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁-mv₂=（m+m+m）v
从能的转化和守恒来看，系统减小的机械能全部用来克服摩擦力做功转化为内能，且一对摩擦力做功的代数和与接触面间的相对滑动的路程有关．设两木块最终相距s．由能量守恒定律得：
f（s+L）=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+m+m）v²．
联立解得：s=1.4m
（2）A、B两木块相遇前A向右做匀减速运动，B向左做匀减速运动，加速度大小均为 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．假设两者相遇前木板一直不动，设经过t时间A、B相遇．则有 L=（v₁t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）+（v₂t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）
解得：t=0.2s
B速度减至零用时：t′=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{2}{5}$s=0.4s＞t
所以假设成立．
则A、B两木块相遇前A向右的位移为：x_A=v₁t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=5×0.2-$\frac{1}{2}$×0.2²=0.9m
A、B相碰前瞬间B的速度为：v₂′=v₁-at=2-5×0.2=1m/s
则碰后A的速度大小为：v₁′=v₂′=1m/s
A、B相碰后，A向左的速度减小到零时，向左的位移为：x_A′=$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$=$\frac{{1}^{2}}{2×5}$=0.1m
所以木板的最短长度为：d=s+x_A-x_A′=1.4+0.9-0.1=2.2m
答：（1）如果A、B始终在木板上，两木块间的最大距离是1.4m；
（2）要使A、B始终在木板上，木板的长度至少要2.2m．

点评 本题是木块在木板上滑动类型，分析物体的运动过程是解题基础，其次要把握物理过程的物理规律，常常根据动量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式结合处理．