Question

5．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A=4.0×10⁴km和r_B=9.0×10⁴km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出线速度、周期与轨道半径的关系，通过轨道半径之比求出线速度之比、周期之比．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因为r_A=4.0×10⁴km和r_B=9.0×10⁴km，知轨道半径之比为4：9，
可知v_A：v_B=3：2，周期之比T_A：T_B=8：27．
答：（1）岩石颗粒A和B的线速度之比为3：2；
（2）岩石颗粒A和B的周期之比为8：27．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系．