Question

（2005?上海模拟）密度大于液体的固体颗粒，在液体中竖直下沉，开始时是加速下沉，但随着下沉速度变大，固体所受的阻力也变大，故下沉到一定深度后，固体颗粒是匀速下沉的．
该实验是研究球形固体颗粒在水中竖直匀速下沉的速度与哪些量有关，实验数据的记录如下表：（水的密度为ρo=1.0×103kg/m3)

次序	1	2	3	4	5	6	7
固体球的半径r（m）	0.5×10-3	1.0×10-3	1.5×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3	0.50×10-3	1.0×10-3
固体的密度ρ（kg/m3）	2.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3.0×103	4.0×103	4.0×103
（p-p0）kg/m3	1.0×103	1.0×103	1.0×103	2.0×103	2.0×103	3.0×103	3×103
匀速下沉的速度v（m/s）	0.55	2.20	4.95	1.10	4.40	1.65	6.60

（1）根据以上实验数据，请你推出球形固体在水中匀速下沉的速度v与r的关系为

v∝r²

；以及v与ρ的关系为

v∝（ρ-ρ₀）

．
我们假定下沉速度v与实验处的重力加速度g成正比，即v∝g．由此可知，球形固体在水中匀速下沉的速度v与g、ρ、r的关系为

v=k(ρ-ρ0)r2g

．（只要求写出关系式，比例系数可用k表示）．
（2）对匀速下沉的固体球作受力分析：固体球受到浮力（浮力的大小等于排开液体的重力）、重力（球体积公式以v=

4

3

πr3计算）、匀速下沉时球受到的阻力f．试写出f与v及r的关系式（分析和推导过程不必写）；f=

4πrv

3k

．

Answer 1

分析：（1）根据表格数据分析可知：球形固体在水中匀速下沉的速度与固体球的半径和密度均有关系，我们可以采用控制变量法来确定另一物理量与速度的关系，最终得出速度与固体球的半径与密度的确切关系；
（2）固体球在水中最后在匀速直线运动，受力平衡，其受重力、浮力以及水的阻力，三力平衡解出阻力与速度及半径的关系．

解答：解：（1）从表格中次序为1、2、3或4、5或6、7的各行中可以看出，固体颗粒密度相同，固体球的半径r越大则匀速下沉的速度v越大，而且匀速下沉的速度与固体颗粒的半径平方成正比，设球形固体颗粒的半径为r，密度为ρ，在水中匀速下降的速度为v．由题意知v∝g．由控制变量法容易得出：当ρ一定时，比如：从表格中次序为1、2、3或4、5或6、7的各行可以得出结论：v∝r²． 从表格中的1、4、6或2、5、7各行可以看出固体球的半径r相同，固体的密度ρ越大则匀速下沉的速度v越大，即即匀速下沉的速度与固体颗粒的密度有关．
但是表格中的1、4、6或2、5、7各行，当r一定时v和ρ的关系难以立即判断．因此需要换个角度考虑．我们可以观察，当r一定时，在每个ρ值后都减去1.0×10³kg/m³（即水的密度）得到的数值与v成正比．即：
    v∝（ρ-ρ₀），则：v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）匀速下沉时，由平衡条件可知重力等于固体球所受的浮力加球所受的阻力，所以：mg=ρ₀

4

3

πr3g+f，
把固体球的质量 m=ρ

4

3

πr3代入上式，结合v=kgr²（ρ-ρ₀），
解得：f=

4πrv

3k

故答案为：（1）v∝r²，v∝（ρ-ρ₀），v=k(ρ-ρ0)r2g
（2）

4πrv

3k

点评：此题实验中判断速度与各物理量间的关系时因为有两个变量，所以我们应当用控制变量法来判断速度与另一物理量的关系．