Question

（2011?浙江模拟）如图所示，质量为m的汽车以恒定功率P从A点出发，先沿着长度为s₁，倾角为a的斜面运动到B（其受到的阻力为车重k₁倍），随后沿着长度为s₂的水平面运动到D（其受到的阻力为车重k₂倍）．若s₁和s₂足够长，汽车在AB、BD段最后均可达到匀速行驶．求：
（1）汽车在AB段和BD段达到匀速行驶时，其速度v₁和v₂分别为多大？耗时分别为多少？
（2）为了省油，汽车发动机在BD段至少还需工作多久才能到达d点．
（3）若汽车可先沿着长度为s₁的水平面运动（其受到的阻力为车重k₂倍），随后沿着长度为s₁，倾角为a的斜面运动到D′点（其受到的阻力为车k₁重倍）．为简单计，设k₁=k₂=k，请问与原路径相比，哪个更省时，为什么？

Answer 1

分析：（1）由功率的表达式P=FV及动能定理可分别求出汽车在两段匀速行驶的速度与时间；
（2）根据动能定理可求出汽车发动机在BD段至少还需工作的时间；
（3）由汽车克服阻力做功相同，根据动能定理可知，末速度越大的汽车工作时间越长，从而由末速度来确定谁能更省时．

解答：解：（1）在AB区间，汽车可达到匀速v₁，由力学知识可得
   v1=

P

k1mg+mgsinα

                                     
耗时t₁，由动能定理可得：Pt1-k1mgs1-mgs1sinα=

1

2

m

v

2 1

  t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
在BD段：达到匀速时，同理
v2=

P

k2mg

                                             
则耗时t₂，由动能定理可知：
Pt2-k2mgs2=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

可以求出
 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

                            
（2）因为汽车在AB区间速度已经达到匀速，若以v₁为初速滑行汽车不能达到D点．
假设汽车发动机在BD段至少还需工作t时间，才能使得汽车恰好能到达D点．
根据动能定理：
0-

1

2

m

v

2 1

=Pt-k2mgs2
求出
   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                       
若汽车以v₁为初速汽车滑行能达到D点，则汽车发动机在BD段工作时间为   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                                  
（3）两个路径中汽车克服阻力做功相同．根据动能定理
    Pt-W阻-mgs1sinα=

1

2

mv2                              
可知汽车到达D点，末速度越大，汽车发动机工作时间越长．汽车沿原路径到达D点，最后车速为v₂，而汽车沿新路径到D′点，末速度为v₁．
   因为v₂＞v₁                    
  所以汽车沿原路径耗时更多．
答：（1）汽车在AB段和BD段达到匀速行驶时，其速度v₁和v₂分别为

P

k1mg+mgsinα

和

P

k2mg

；耗时分别为 t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
与 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

；                         
（2）为了省油，汽车发动机在BD段至少还需工作时间为   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

  才能到达d点．
（3）汽车沿着长度为s₁的水平面运动（其受到的阻力为车重k₂倍），随后沿着长度为s₁，倾角为a的斜面运动到D′点（其受到的阻力为车k₁重倍），更能省时．

点评：本题考查动能定理，并体现动能定理的过程重要性．同时要注意定理中的速度与位移是同一参考系，及功的正负．还要关注的是牵引力做功W=Pt．